Движение тела, брошенного под углом к горизонту (бросок)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение тела в двумерной системе координат (по двум осям) при изначальном направлении начальной скорости под углом к горизонту. Данное движение является сложным видом механического движения с криволинейной траекторией. Такие типы движений принято рассматривать в проекции на оси выбранной системы координат. В нашем конкретном случае возьмём декартову систему координат и запустим тело под углом \displaystyle \alpha к оси ОХ (рис. 1).

Тело бросили под углом к горизонту

Рис. 1. Тело бросили под углом к горизонту

Классическая постановка задач на подобную тематику: тело бросили под углом \displaystyle \alpha к горизонту с начальной скоростью \displaystyle {{\upsilon }_{0}}, найти различные параметры движения.

Первое, что мы сделаем, это попробуем данное сложное движение представить как сумму простых (рис. 2).

Тело бросили под углом к горизонту (основа, максимумы)

Рис. 2. Тело бросили под углом к горизонту (максимальная высота подъёма, путь по горизонтали, движение)

Рассмотрим само движение. После броска траектория движущегося тела представляет собой параболу (докажем позже). Выберем произвольную точку на параболе и укажем ускорение, с которым движется тело в данный момент (ускорение свободного падения). Направление данного ускорения — вертикально вниз. Проекции данного ускорения на ось ОХ (\displaystyle {{g}_{x}}=0 (м/\displaystyle {{c}^{2}}), а на ось OY (\displaystyle {{g}_{y}}=-10 (м/\displaystyle {{c}^{2}}).

Тогда, вдоль оси ОХ, тело движется равномерно (т.к. ускорение вдоль этой оси равно 0). Более сложным является движение тела вдоль оси OY: между точками A и B тело движется замедляясь, при этом движение равнозамедленное. Между точками B и C движение равноускоренное (рис.2, подписи). Исходя из установленного вида движения, можем решать задачу.

Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)

Рис. 3. Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)

Для рассмотрения движения тела вдоль осей, введём начальные скорости движения тела вдоль выбранных нами осей (рис. 3). На рисунке представлена часть траектории в самом начале движения. Начальные скорости движения вдоль осей обозначим \displaystyle {{\upsilon }_{0x}} и \displaystyle {{\upsilon }_{0y}}. Исходя из треугольника, катетами которого являются наши проекции (можно построить параллельным переносом), а гипотенузой — модуль вектора начальной скорости (\displaystyle \left| {{{\vec{\upsilon }}}_{0}} \right|), можем найти значения необходимых нам проекций:

  • \displaystyle {{\upsilon }_{0x}}={{\upsilon }_{0}}\cos \alpha (1)
  • \displaystyle {{\upsilon }_{0y}}={{\upsilon }_{0}}\sin \alpha (2)

Вернёмся к рисунку 2. Попробуем найти полное время полёта (\displaystyle {{t}_{\max }}). Для этого воспользуемся тем, что вдоль оси OY тело движется равнозамедленно, а в точке B движение вдоль этой оси и вовсе останавливается. Таким образом, конечная скорость в этой точке вдоль оси OY равна 0. Тогда, исходя из движения:

\displaystyle 0={{\upsilon }_{0y}}-g\frac{{{t}_{\max }}}{2} (3)

\displaystyle \frac{{{t}_{\max }}}{2} — т.к. время движения от точки А до B, и от B до C одинаково. Тогда:

\displaystyle {{t}_{\max }}=\frac{2{{\upsilon }_{0y}}}{g} (4)

И, учитывая (2):

\displaystyle {{t}_{\max }}=\frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{g} (5)

Перейдём к вопросу о максимальной дальности броска в горизонтальном направлении (\displaystyle {{S}_{\max }}).

Вдоль горизонта тело движется равномерно (рис. 2). Тогда путь, проделанный телом за время \displaystyle {{t}_{\max }}:

\displaystyle {{S}_{\max }}={{\upsilon }_{0x}}{{t}_{\max }} (6)

А с учётом (1) и (5):

\displaystyle {{S}_{\max }}={{\upsilon }_{0}}\cos \alpha *\frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{g}\displaystyle \frac{2\upsilon _{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{g}=\displaystyle \frac{\upsilon _{0}^{2}\sin (2\alpha )}{g} (7)

Перейдём к максимальной высоте полёта (\displaystyle {{H}_{\max }}). Данный параметр связан с движением тела вдоль оси OY, которое, как мы выяснили, является равноускоренным/равнозамедленным. Рассмотрим участок BC: для него вдоль соответствующей оси тело без начальной скорости движется с ускорением (\displaystyle g) в течение времени \displaystyle \frac{{{t}_{\max }}}{2}, формируем уравнение:

\displaystyle {{H}_{\max }}=\frac{g{{\left( {}^{{{t}_{\max }}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{2}}}{2}=\frac{g{{\left( {{t}_{\max }} \right)}^{2}}}{8} (8)

С учётом (5):

\displaystyle {{H}_{\max }}=\frac{g}{8}{{\left( {{t}_{\max }} \right)}^{2}}=\frac{g}{8}{{\left( \frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{g} \right)}^{2}}\displaystyle \frac{\upsilon _{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g} (9)

Таким образом, ряд параметров движения при броске под углом к горизонту можно вычислить, зная лишь начальные параметры броска.

Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)

Рис. 4. Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)

Далее попробуем найти конечную скорость движения (при таких движениях, конечная скорость — скорость при подлёте к Земле). Рассмотрим конечную точку движения С (рис. 4). Скорость тела \displaystyle \upsilon направлена под неким углом \displaystyle \beta . Построим проекции данного вектора на оси OX и OY. На основании построенного треугольника реализуем теорему Пифагора для поиска модуля полной конечной скорости:

\displaystyle \left| {\vec{\upsilon }} \right|=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}} (10)

Найдём компоненты вектора \displaystyle \left| {\vec{\upsilon }} \right|. Т.к. движение вдоль оси OX равномерное, значит, \displaystyle {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0x}}, используя (1):

\displaystyle {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cos \alpha (11)

Движение вдоль оси OY от точки B в точку C равноускоренное, причём, без начальной скорости за время \displaystyle \frac{{{t}_{\max }}}{2}, тогда:

\displaystyle {{\upsilon }_{y}}=g\frac{{{t}_{\max }}}{2} (12)

Используя (5), получим:

\displaystyle {{\upsilon }_{y}}=g\frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{2g}={{\upsilon }_{0}}\sin \alpha (13)

Подставим (12) и (13) в (10):

\displaystyle \left| {\vec{\upsilon }} \right|=\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\sin \alpha )}^{2}}} = \displaystyle {{\upsilon }_{0}}\sqrt{{{(\cos \alpha )}^{2}}+{{(\sin \alpha )}^{2}}} = \displaystyle {{\upsilon }_{0}} (14)

Для избавления от тригонометрических функций мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством. Таким образом, доказано, что конечная скорость такого движения равна начальной, кроме того, из треугольника видно, что тело подлетело к земле под углом \displaystyle \beta =\alpha .

Вывод: 

  • для движения тела, брошенного под углом к горизонту, выведены добавочные формулы: (5), (7), (9), которые могут существенно упростить решение задачи.
  • представлен один из общих способов нахождения скорости при криволинейном движении (через теорему Пифагора и поиск компонент вектора).

Добавить комментарий