Движение тела брошенного под углом к горизонту. Время, подъём

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение тела в двумерной системе координат (по двум осям) при изначальном направлении начальной скорости под углом к горизонту. Данное движение является сложным видом механического движения с криволинейной траекторией. Такие типы движений принято рассматривать в проекции на оси выбранной системы координат. В нашем конкретном случае возьмём декартову систему координат и запустим тело под углом $\displaystyle \alpha$ к оси ОХ (рис. 1).

Рис. 1. Тело бросили под углом к горизонту

Классическая постановка задач на подобную тематику: тело бросили под углом $\displaystyle \alpha$ к горизонту с начальной скоростью $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}$ , найти различные параметры движения.

Первое, что мы сделаем, это попробуем данное сложное движение представить как сумму простых (рис. 2).

Тело бросили под углом к горизонту (основа, максимумы)

Рис. 2. Тело бросили под углом к горизонту (максимальная высота подъёма, путь по горизонтали, движение)

Рассмотрим само движение. После броска траектория движущегося тела представляет собой параболу (докажем позже). Выберем произвольную точку на параболе и укажем ускорение, с которым движется тело в данный момент (ускорение свободного падения). Направление данного ускорения — вертикально вниз. Проекции данного ускорения на ось ОХ ( $\displaystyle {{g}_{x}}=0$ (м/ $\displaystyle {{c}^{2}}$ ), а на ось OY ( $\displaystyle {{g}_{y}}=-10$ (м/ $\displaystyle {{c}^{2}}$ ).

Тогда, вдоль оси ОХ, тело движется равномерно (т.к. ускорение вдоль этой оси равно 0). Более сложным является движение тела вдоль оси OY: между точками A и B тело движется замедляясь, при этом движение равнозамедленное. Между точками B и C движение равноускоренное (рис.2, подписи). Исходя из установленного вида движения, можем решать задачу.

Рис. 3. Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)

Для рассмотрения движения тела вдоль осей, введём начальные скорости движения тела вдоль выбранных нами осей (рис. 3). На рисунке представлена часть траектории в самом начале движения. Начальные скорости движения вдоль осей обозначим $\displaystyle {{\upsilon }_{0x}}$ и $\displaystyle {{\upsilon }_{0y}}$ . Исходя из треугольника, катетами которого являются наши проекции (можно построить параллельным переносом), а гипотенузой — модуль вектора начальной скорости ( $\displaystyle \left| {{{\vec{\upsilon }}}_{0}} \right|$ ), можем найти значения необходимых нам проекций:

$\displaystyle {{\upsilon }_{0x}}={{\upsilon }_{0}}\cos \alpha$ (1)
$\displaystyle {{\upsilon }_{0y}}={{\upsilon }_{0}}\sin \alpha$ (2)

Вернёмся к рисунку 2. Попробуем найти полное время полёта ( $\displaystyle {{t}_{\max }}$ ). Для этого воспользуемся тем, что вдоль оси OY тело движется равнозамедленно, а в точке B движение вдоль этой оси и вовсе останавливается. Таким образом, конечная скорость в этой точке вдоль оси OY равна 0. Тогда, исходя из движения:

$\displaystyle 0={{\upsilon }_{0y}}-g\frac{{{t}_{\max }}}{2}$ (3)

$\displaystyle \frac{{{t}_{\max }}}{2}$ — т.к. время движения от точки А до B, и от B до C одинаково. Тогда:

$\displaystyle {{t}_{\max }}=\frac{2{{\upsilon }_{0y}}}{g}$ (4)

И, учитывая (2):

$\displaystyle {{t}_{\max }}=\frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{g}$ (5)

Перейдём к вопросу о максимальной дальности броска в горизонтальном направлении ( $\displaystyle {{S}_{\max }}$ ).

Вдоль горизонта тело движется равномерно (рис. 2). Тогда путь, проделанный телом за время $\displaystyle {{t}_{\max }}$ :

$\displaystyle {{S}_{\max }}={{\upsilon }_{0x}}{{t}_{\max }}$ (6)

А с учётом (1) и (5):

$\displaystyle {{S}_{\max }}={{\upsilon }_{0}}\cos \alpha *\frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{g}$ = $\displaystyle \frac{2\upsilon _{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{g}$ = $\displaystyle \frac{\upsilon _{0}^{2}\sin (2\alpha )}{g}$ (7)

Перейдём к максимальной высоте полёта ( $\displaystyle {{H}_{\max }}$ ). Данный параметр связан с движением тела вдоль оси OY, которое, как мы выяснили, является равноускоренным/равнозамедленным. Рассмотрим участок BC: для него вдоль соответствующей оси тело без начальной скорости движется с ускорением ( $\displaystyle g$ ) в течение времени $\displaystyle \frac{{{t}_{\max }}}{2}$ , формируем уравнение:

$\displaystyle {{H}_{\max }}=\frac{g{{\left( {}^{{{t}_{\max }}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{2}}}{2}=\frac{g{{\left( {{t}_{\max }} \right)}^{2}}}{8}$ (8)

С учётом (5):

$\displaystyle {{H}_{\max }}=\frac{g}{8}{{\left( {{t}_{\max }} \right)}^{2}}=\frac{g}{8}{{\left( \frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{g} \right)}^{2}}$ = $\displaystyle \frac{\upsilon _{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g}$ (9)

Таким образом, ряд параметров движения при броске под углом к горизонту можно вычислить, зная лишь начальные параметры броска.

Рис. 4. Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)

Далее попробуем найти конечную скорость движения (при таких движениях, конечная скорость — скорость при подлёте к Земле). Рассмотрим конечную точку движения С (рис. 4). Скорость тела $\displaystyle \upsilon$ направлена под неким углом $\displaystyle \beta$ . Построим проекции данного вектора на оси OX и OY. На основании построенного треугольника реализуем теорему Пифагора для поиска модуля полной конечной скорости:

$\displaystyle \left| {\vec{\upsilon }} \right|=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}$ (10)

Найдём компоненты вектора $\displaystyle \left| {\vec{\upsilon }} \right|$ . Т.к. движение вдоль оси OX равномерное, значит, $\displaystyle {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0x}}$ , используя (1):

$\displaystyle {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cos \alpha$ (11)

Движение вдоль оси OY от точки B в точку C равноускоренное, причём, без начальной скорости за время $\displaystyle \frac{{{t}_{\max }}}{2}$ , тогда:

$\displaystyle {{\upsilon }_{y}}=g\frac{{{t}_{\max }}}{2}$ (12)

Используя (5), получим:

$\displaystyle {{\upsilon }_{y}}=g\frac{2{{\upsilon }_{0}}\sin \alpha }{2g}={{\upsilon }_{0}}\sin \alpha$ (13)

Подставим (12) и (13) в (10):

$\displaystyle \left| {\vec{\upsilon }} \right|=\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\sin \alpha )}^{2}}}$ = $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}\sqrt{{{(\cos \alpha )}^{2}}+{{(\sin \alpha )}^{2}}}$ = $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}$ (14)

Для избавления от тригонометрических функций мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством. Таким образом, доказано, что конечная скорость такого движения равна начальной, кроме того, из треугольника видно, что тело подлетело к земле под углом $\displaystyle \beta =\alpha$ .

Вывод:

для движения тела, брошенного под углом к горизонту, выведены добавочные формулы: (5), (7), (9), которые могут существенно упростить решение задачи.
представлен один из общих способов нахождения скорости при криволинейном движении (через теорему Пифагора и поиск компонент вектора).

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (бросок)

Добавить комментарий Отменить ответ

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ