Прямолинейное равнопеременное движение

Прямолинейное равнопеременное движение — движение тела вдоль прямой, характеризующееся постоянным по модулю и направлению линейным ускорением.

Траектория такого движения —  прямая, поэтому в задачах равнозначными являются понятия пути и модуля перемещения. Такое движение может быть описано несколькими соотношениями:

  • вектор скорости тела при равнопеременном движении

 \displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{a}t (1)

  • где
    • \displaystyle \vec{\upsilon } — вектор конечной скорости движения
    • \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}} — вектор начальной скорости движения
    • \displaystyle \vec{a} — вектор ускорения
    • \displaystyle t — время движения
  • вектор перемещения тела при равнопеременном движении

\displaystyle \Delta \vec{r}={{\vec{\upsilon }}_{0}}t+\frac{\vec{a}{{t}^{2}}}{2} (2)

  • где
    • \displaystyle \Delta \vec{r} — вектор перемещения тела

Однако это векторные уравнения, с которыми работать достаточно сложно, а иногда, просто не хочется. Попробуем, анализируя условия задачи, составить уравнения скалярного вида, спроецировав вектора на некую ось.

Равноускоренное движение-1

Рис. 1. Равноускоренное движение 1

Пример 1. Тело движется прямо с начальной скоростью \displaystyle {{\upsilon }_{0}} и ускоряется. По задаче выставляем вектора на ось OX (движение прямолинейное) (рис. 1). Сказано, что тело движется вдоль оси (вектор \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}} направлен по оси) и ускоряется (вектор \displaystyle \vec{a} также направлен вдоль оси). Осталось зафиксированные вектора спроецировать:

  • Для уравнения (1): \displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{0}}+at
  • Для уравнения (2): \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|={{\upsilon }_{0}}t+\frac{a{{t}^{2}}}{2}

В общем случае, мы не можем предугадать направления векторов \displaystyle \Delta \vec{r} и \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}, соответственно, мы не можем указать точный знак проекции этих векторов на выбранную ось. Но не заморачиваемся: в результате решения задачи мы получим одно и то же по модулю число, даже если ошибёмся. Т.е. выбираем направления как хотим, а потом анализируем ответ.

Равноускоренное движение-2

Рис. 2. Равноускоренное движение-2

Пример 2. Тело движется в положительном направлении оси и затормаживает. По задаче тело движется вдоль оси (вектор \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}} направлен по оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения (\displaystyle {\vec{a}}) направлен против оси OX (рис. 2). Проецируем:

  • Для уравнения (1): \displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{0}}-at
  • Для уравнения (2): \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|={{\upsilon }_{0}}t-\frac{a{{t}^{2}}}{2}
Равноускоренное движение-3

Рис. 3. Равноускоренное движение-3

Пример 3. Тело движется в отрицательном направлении оси и затормаживает.  По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}} направлен против оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения (\displaystyle {\vec{a}}) направлен против движения, а значит, по оси OX (рис. 3). Проецируем:

  • Для уравнения (1): \displaystyle \upsilon =-{{\upsilon }_{0}}+at
  • Для уравнения (2): \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=-{{\upsilon }_{0}}t+\frac{a{{t}^{2}}}{2}
Равноускоренное движение-4

Рис. 4. Равноускоренное движение-4

Пример 4. Тело движется в отрицательном направлении оси и ускоряется.  По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор \displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}} направлен против оси), а ускорение говорит о том, что вектор ускорения (\displaystyle {\vec{a}}) направлен в сторону движения, а значит, против оси OX (рис. 4). Проецируем:

  • Для уравнения (1): \displaystyle \upsilon =-{{\upsilon }_{0}}-at
  • Для уравнения (2): \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=-{{\upsilon }_{0}}t-\frac{a{{t}^{2}}}{2}

Вывод: только что мы получили восемь различных формул, применимых для решения задач. Очень не хотелось бы их помнить. К счастью, есть выход: запомнить и понять векторный вид этих уравнений (1) и (2), а далее, применительно к данной вам задаче, просто адаптировать их, используя проекции.

Кроме формул (1) и (2), имеется ещё одна расчётная формула, которая чаще всего используется, когда в задаче на нужно найти время или его не дано. Воспользуемся уже имеющимися (1) и (2), считая движение тела равноускоренным. Выделим из (1) время:

\displaystyle t=\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{a} (3)

Подставим (3) в (2) при условии \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=S:

\displaystyle S={{\upsilon }_{0}}\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{a}+\frac{a}{2}{{(\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{a})}^{2}} = \displaystyle \frac{\upsilon {{\upsilon }_{0}}-\upsilon _{0}^{2}}{a}+\frac{a({{\upsilon }^{2}}-2\upsilon {{\upsilon }_{0}}+\upsilon _{0}^{2})}{2{{a}^{2}}} = \displaystyle \frac{2\upsilon {{\upsilon }_{0}}-2\upsilon _{0}^{2}+{{\upsilon }^{2}}-2\upsilon {{\upsilon }_{0}}+\upsilon _{0}^{2}}{2a} = \displaystyle \frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{2a} \displaystyle \Rightarrow

\displaystyle {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=2aS (4)

Таким образом, мы получили формулу, в которой нет параметра времени.

Добавить комментарий