Задача. Определить путь и модуль перемещения конца часовой

Задача. Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной $\displaystyle l=10$ см за промежутки времени $\displaystyle {{t}_{1}}=3$ ч, $\displaystyle {{t}_{2}}=6$ ч, $\displaystyle {{t}_{3}}=8$ ч, $\displaystyle {{t}_{4}}=12$ ч, $\displaystyle {{t}_{5}}=24$ ч.

Дано:

$\displaystyle l=10$ см

$\displaystyle {{t}_{1}}=3$ ч

$\displaystyle {{t}_{2}}=6$ ч

$\displaystyle {{t}_{3}}=8$ ч

$\displaystyle {{t}_{4}}=12$ ч

$\displaystyle {{t}_{5}}=24$ ч

Найти:

$\displaystyle S$ -?

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ — ?

Решение

Думаем: вопрос задачи относится к траектории движения. Такого типа задачи лучше всего начинать с рисунка.

Рис. 1. Траектория движения часовой стрелки

Конец часовой стрелки движется по траектории, имеющей форму окружности (рис. 1). Для каждого из предложенных нам времён нужно найти путь ( $\displaystyle S$ ) и модуль перемещения $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ конца часовой стрелки.

Обратимся к обоим вопросам задачи: путь — скалярная физическая величина, численно равная длине траектории, т.е. для нахождения пути необходимо найти расстояние, пройденное телом за интересующее время движения; перемещение — векторная физическая величина — вектор, соединяющий начальную и конечную точку движения. Т.е. для нахождения модуля перемещения необходимо найти модуль вектора перемещения (длину этого вектора) и направление данного вектора.

Рис. 2. Путь и перемещение (3 ч.)

Визуализируем необходимые параметры движения для времени движения $\displaystyle {{t}_{1}}=3\,$ ч (рис. 2). Путь в данном случае является частью (дугой) окружности, а именно 1/4 частью. Тогда:

$\displaystyle S=\frac{1}{4}2\pi l=\frac{1}{2}\pi l$ (1)

Перемещение при этом является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $\displaystyle l$ и $\displaystyle l$ . Для поиска сторон прямоугольного треугольника легче всего использовать теорему Пифагора. Таким образом:

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=\sqrt{{{l}^{2}}+{{l}^{2}}}=\sqrt{2}l$ (2)

Считаем: $\displaystyle S\approx 16$ (см); $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|\approx 14$ (см)

Аналогичные рассуждения приведём для всех остальных заданных времён.

Рис. 3. Путь и перемещение (6 ч.)

Итак, при $\displaystyle {{t}_{2}}=6$ ч (рис. 3). В данном случае, путь — половина окружности, тогда:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}2\pi l=\pi l$ (3)

Поговорим о перемещении: из рисунка видно, что вектор, соединяющий точку начала движения (12) и точку конца движения (6), по сути, является диаметром окружности, тогда:

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=2l$ (4)

Считаем: $\displaystyle S\approx 31$ см; $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=20$ (см)

Рис. 4. Путь и перемещение (8 ч.)

Для $\displaystyle {{t}_{3}}=8$ ч (рис. 4). Несколько сложнее обстоит дело с путём в данном случае. Можно проанализировать этот параметр двумя похожими способами:

Будем исходить из того, что искомый путь — это часть окружности, причём, основываясь на времени — 8/12 всей длины окружности. Тогда:

$\displaystyle S=\frac{8}{12}2\pi R=\frac{4}{3}\pi R$ (5)

С другой стороны, можем представить себе путь как дугу,которая опирается на центральный угол ( $\displaystyle {{360}^{\circ }}-\alpha$ ). Тогда:

$\displaystyle S=\frac{{{360}^{{}^\circ }}-\alpha }{{{180}^{{}^\circ }}}\pi l$ (6)

Неизвестный угол можно найти исходя из того, что время прохождения дуги окружности нам задано, тогда

$\displaystyle \alpha =\frac{12-8}{12}*{{360}^{{}^\circ }}={{120}^{\circ }}$ (7)

Перейдём к перемещению: заметим, что вектор перемещения является частью произвольного треугольника со сторонами $\displaystyle l$ и $\displaystyle l$ . Для нахождения неизвестных сторон треугольника можно использовать теорему синусов или теорему косинусов. Для нас более подходящей является теорема косинусов:

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=\sqrt{{{l}^{2}}+{{l}^{2}}-2ll\cos \alpha }$ (8)

Считаем:

исходя из формулы (5): $\displaystyle S=\frac{4}{3}*3.14*10\approx 42$ (см)
исходя из формул (6) и (7): $\displaystyle S=\frac{{{360}^{\circ }}-{{120}^{\circ }}}{{{180}^{\circ }}}\*3.14*10\approx 42$ (см)
исходя из формулы (8): $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=l\sqrt{2(1-\cos \alpha )}\approx 17$ (см)

Рис. 5. Путь и перемещение (12, 24 ч.)

Для $\displaystyle {{t}_{4}}=12$ ч (рис.5). Траектория в данном случае представляет собой полную окружность, соответственно путь равен длине окружности:

$\displaystyle S=2\pi l$ (9)

Что касается перемещения, то тело переместилось из точки 12 в точку 12, т.е. модуль вектора перемещения равен нулю:

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0$ (10)

Считаем: $\displaystyle S\approx 63$ (см); $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0$ м.

Для $\displaystyle {{t}_{4}}=24$ ч (рис. 5). Траектория в данном случае представляет собой две полных окружности, соответственно путь равен удвоенной длине окружности:

$\displaystyle S=4\pi l$ (9)

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0$ (10)

Считаем: $\displaystyle S\approx 123$ (см); $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0$ м.

Вывод: При решении каждого из пунктов задачи мы пользовались двумя определениями: путь и перемещение, а также рисунком. Т.е. достаточно знать, что мы ищем и видеть, что мы ищем.

Ещё задачи на тему «Траектория. Путь. Перемещение.»

Определить путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной l за промежутки времени

Добавить комментарий Отменить ответ

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ