Определить путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной l за промежутки времени

Задача. Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной \displaystyle l=10 см за промежутки времени \displaystyle {{t}_{1}}=3 ч, \displaystyle {{t}_{2}}=6 ч, \displaystyle {{t}_{3}}=8 ч, \displaystyle {{t}_{4}}=12 ч, \displaystyle {{t}_{5}}=24 ч.

Дано: 

\displaystyle l=10 см

\displaystyle {{t}_{1}}=3 ч

\displaystyle {{t}_{2}}=6 ч

\displaystyle {{t}_{3}}=8 ч

\displaystyle {{t}_{4}}=12 ч

\displaystyle {{t}_{5}}=24 ч

Найти: 

\displaystyle S -?

\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right| — ?

 

Решение

Думаем: вопрос задачи относится к траектории движения. Такого типа задачи лучше всего начинать с рисунка.

Задача 4

Рис. 1. Траектория движения часовой стрелки

Конец часовой стрелки движется по траектории, имеющей форму окружности (рис. 1). Для каждого из предложенных нам времён нужно найти путь (\displaystyle S) и модуль перемещения \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right| конца часовой стрелки.

Обратимся к обоим вопросам задачи: путь —  скалярная физическая величина, численно равная длине траектории, т.е. для нахождения пути необходимо найти расстояние, пройденное телом за интересующее время движения; перемещение —  векторная физическая величина — вектор, соединяющий начальную и конечную точку движения. Т.е. для нахождения модуля перемещения необходимо найти модуль вектора перемещения (длину этого вектора) и направление данного вектора.

Задача 4_1

Рис. 2. Путь и перемещение (3 ч.)

Визуализируем необходимые параметры движения для времени движения \displaystyle {{t}_{1}}=3\, ч (рис. 2). Путь в данном случае является частью (дугой) окружности, а именно 1/4 частью. Тогда:

\displaystyle S=\frac{1}{4}2\pi l=\frac{1}{2}\pi l (1)

Перемещение при этом является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \displaystyle l и \displaystyle l. Для поиска сторон прямоугольного треугольника легче всего использовать теорему Пифагора. Таким образом:

\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=\sqrt{{{l}^{2}}+{{l}^{2}}}=\sqrt{2}l (2)

Считаем: \displaystyle S\approx 16 (см); \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|\approx 14 (см)

Аналогичные рассуждения приведём для всех остальных заданных времён.

Задача 4_2

Рис. 3. Путь и перемещение (6 ч.)

Итак, при \displaystyle {{t}_{2}}=6 ч (рис. 3). В данном случае, путь — половина окружности, тогда:

\displaystyle S=\frac{1}{2}2\pi l=\pi l (3)

Поговорим о перемещении: из рисунка видно, что вектор, соединяющий точку начала движения (12) и точку конца движения (6), по сути, является диаметром окружности, тогда:

\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=2l (4)

Считаем: \displaystyle S\approx 31 см; \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=20 (см)

Задача 4_3

Рис. 4. Путь и перемещение (8 ч.)

Для \displaystyle {{t}_{3}}=8 ч (рис. 4). Несколько сложнее обстоит дело с путём в данном случае. Можно проанализировать этот параметр двумя похожими способами:

  • Будем исходить из того, что искомый путь — это часть окружности, причём, основываясь на времени — 8/12 всей длины окружности. Тогда:

\displaystyle S=\frac{8}{12}2\pi R=\frac{4}{3}\pi R (5)

  • С другой стороны, можем представить себе путь как дугу,которая опирается на центральный угол (\displaystyle {{360}^{\circ }}-\alpha ). Тогда:

\displaystyle S=\frac{{{360}^{{}^\circ }}-\alpha }{{{180}^{{}^\circ }}}\pi l (6)

Неизвестный угол можно найти исходя из того, что время прохождения дуги окружности нам задано, тогда

\displaystyle \alpha =\frac{12-8}{12}*{{360}^{{}^\circ }}={{120}^{\circ }} (7)

Перейдём к перемещению: заметим, что вектор перемещения является частью произвольного треугольника со сторонами \displaystyle l и \displaystyle l. Для нахождения неизвестных сторон треугольника можно использовать теорему синусов или теорему косинусов. Для нас более подходящей является теорема косинусов:

\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=\sqrt{{{l}^{2}}+{{l}^{2}}-2ll\cos \alpha } (8)

Считаем:

  • исходя из формулы (5): \displaystyle S=\frac{4}{3}*3.14*10\approx 42 (см)
  • исходя из формул (6) и (7): \displaystyle S=\frac{{{360}^{\circ }}-{{120}^{\circ }}}{{{180}^{\circ }}}\*3.14*10\approx 42 (см)
  • исходя из формулы (8): \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=l\sqrt{2(1-\cos \alpha )}\approx 17 (см)
Задача 4_4

Рис. 5. Путь и перемещение (12, 24 ч.)

Для \displaystyle {{t}_{4}}=12 ч (рис.5). Траектория в данном случае представляет собой полную окружность, соответственно путь равен длине окружности:

\displaystyle S=2\pi l (9)

Что касается перемещения, то тело переместилось из точки 12 в точку 12, т.е. модуль вектора перемещения равен нулю:

\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0 (10)

Считаем\displaystyle S\approx 63 (см); \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0 м.

Для \displaystyle {{t}_{4}}=24 ч (рис. 5). Траектория в данном случае представляет собой две полных окружности, соответственно путь равен удвоенной длине окружности:

\displaystyle S=4\pi l (9)

Что касается перемещения, то тело переместилось из точки 12 в точку 12, т.е. модуль вектора перемещения равен нулю:

\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0 (10)

Считаем\displaystyle S\approx 123 (см); \displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=0 м.

Вывод: При решении каждого из пунктов задачи мы пользовались двумя определениями: путь и перемещение, а также рисунком. Т.е. достаточно знать, что мы ищем и видеть, что мы ищем.

Ещё задачи на тему «Траектория. Путь. Перемещение.»

Добавить комментарий