Задача. Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной см за промежутки времени ч, ч, ч, ч, ч.
Дано:
см
ч
ч
ч
ч
ч
Найти:
-?
— ?
Решение
Думаем: вопрос задачи относится к траектории движения. Такого типа задачи лучше всего начинать с рисунка.
Конец часовой стрелки движется по траектории, имеющей форму окружности (рис. 1). Для каждого из предложенных нам времён нужно найти путь () и модуль перемещения конца часовой стрелки.
Обратимся к обоим вопросам задачи: путь — скалярная физическая величина, численно равная длине траектории, т.е. для нахождения пути необходимо найти расстояние, пройденное телом за интересующее время движения; перемещение — векторная физическая величина — вектор, соединяющий начальную и конечную точку движения. Т.е. для нахождения модуля перемещения необходимо найти модуль вектора перемещения (длину этого вектора) и направление данного вектора.
Визуализируем необходимые параметры движения для времени движения ч (рис. 2). Путь в данном случае является частью (дугой) окружности, а именно 1/4 частью. Тогда:
(1)
Перемещение при этом является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами и . Для поиска сторон прямоугольного треугольника легче всего использовать теорему Пифагора. Таким образом:
(2)
Считаем: (см); (см)
Аналогичные рассуждения приведём для всех остальных заданных времён.
Итак, при ч (рис. 3). В данном случае, путь — половина окружности, тогда:
(3)
Поговорим о перемещении: из рисунка видно, что вектор, соединяющий точку начала движения (12) и точку конца движения (6), по сути, является диаметром окружности, тогда:
(4)
Считаем: см; (см)
Для ч (рис. 4). Несколько сложнее обстоит дело с путём в данном случае. Можно проанализировать этот параметр двумя похожими способами:
- Будем исходить из того, что искомый путь — это часть окружности, причём, основываясь на времени — 8/12 всей длины окружности. Тогда:
(5)
- С другой стороны, можем представить себе путь как дугу,которая опирается на центральный угол (). Тогда:
(6)
Неизвестный угол можно найти исходя из того, что время прохождения дуги окружности нам задано, тогда
(7)
Перейдём к перемещению: заметим, что вектор перемещения является частью произвольного треугольника со сторонами и . Для нахождения неизвестных сторон треугольника можно использовать теорему синусов или теорему косинусов. Для нас более подходящей является теорема косинусов:
(8)
Считаем:
- исходя из формулы (5): (см)
- исходя из формул (6) и (7): (см)
- исходя из формулы (8): (см)
Для ч (рис.5). Траектория в данном случае представляет собой полную окружность, соответственно путь равен длине окружности:
(9)
Что касается перемещения, то тело переместилось из точки 12 в точку 12, т.е. модуль вектора перемещения равен нулю:
(10)
Считаем: (см); м.
Для ч (рис. 5). Траектория в данном случае представляет собой две полных окружности, соответственно путь равен удвоенной длине окружности:
(9)
Что касается перемещения, то тело переместилось из точки 12 в точку 12, т.е. модуль вектора перемещения равен нулю:
(10)
Считаем: (см); м.
Вывод: При решении каждого из пунктов задачи мы пользовались двумя определениями: путь и перемещение, а также рисунком. Т.е. достаточно знать, что мы ищем и видеть, что мы ищем.