Задача. До какой температуры был нагрет железный брусок массой

Задача. До какой температуры был нагрет железный брусок массой $\displaystyle {{m}_{1}}=3,5$ кг, если вода объёмом $\displaystyle V=3,0$ л в сосуде, в который был опущен брусок, нагрелась от температуры $\displaystyle {{t}_{1}}=5$ ^оС до температуры $\displaystyle {{t}_{2}}=15$ ^оС? Потерями теплоты на нагревания стенок сосуда пренебречь.

Дано:

$\displaystyle {{m}_{1}}=3,5$ кг
$\displaystyle V=3,0$ л
$\displaystyle {{t}_{1}}=5$ ^оС
$\displaystyle {{t}_{2}}=15$ ^оС

Найти:
$\displaystyle {{t}_{0}}$ — ?

Решение

Думаем: задачи на смешение и достижение состояния теплового равновесия (а также одинаковой температуры смеси во всех точках) касаются уравнения теплового баланса. Исходя из логики решения подобных задач, нам нужно проанализировать суммарную теплоту, отданную одной частью системы и теплоту, принятую другой частью системы.

Железный брусок, находящаяся при более высокой температуре будет охлаждаться, а вода, находящаяся при более низкой температуре начнёт нагреваться. Процессы нагревания и охлаждения можно описать одинаково:

$\displaystyle Q=cm\Delta T$ (1)

А искомая температура будет находиться в изменении температуры каждого из частей системы.

Решаем: проанализируем вначале конец задачи. Если конечная температура воды установилась на отметке $\displaystyle {{t}_{2}}$ , значит все процессы перехода тепла остановились, таким образом и конечная температура железного бруска также стала равной $\displaystyle {{t}_{2}}$ . Тогда, исходя из (1)

для охлаждения железного бруска $\displaystyle {{Q}_{oh}}={{c}_{zh}}{{m}_{1}}({{t}_{0}}-{{t}_{2}})$ (охлаждение происходит от искомой температуры $\displaystyle {{t}_{0}}$ до установившейся температуры воды $\displaystyle {{t}_{2}}$ )
для нагревания воды $\displaystyle {{Q}_{nag}}={{c}_{V}}{{m}_{2}}({{t}_{2}}-{{t}_{1}})$ (нагревание происходит от температуры $\displaystyle {{t}_{1}}$ до температуры $\displaystyle {{t}_{2}}$ )

Введённая масса воды ( $\displaystyle {{m}_{2}}$ ) может быть найдена по неиспользованному из дано параметру, связанному с водой — объёмом:

$\displaystyle {{m}_{2}}=\rho V$ (2)

Мы ввели несколько констант: $\displaystyle {{c}_{zh}}$ — удельная теплоёмкость железа, $\displaystyle {{c}_{V}}$ — удельная теплоёмкость воды, $\displaystyle \rho$ — плотность воды. Т.к. нам даны вещества (вода, железо), то эти параметры являются табличными и, как следствие, известными.

Т.к. данная система замкнута, вся энергия, выделившаяся в одной части системы поглотилась другой частью. Тогда:

$\displaystyle {{Q}_{oh}}={{Q}_{nag}}$ (3)

Пользуясь введёнными нами определениями при условии (2):

$\displaystyle {{c}_{V}}\rho V({{t}_{2}}-{{t}_{1}})={{c}_{zh}}{{m}_{1}}({{t}_{0}}-{{t}_{2}})$ (4)

В соотношении (4) всё, кроме искомой температуры дано, поэтому математически выражаем:

$\displaystyle {{c}_{V}}\rho V({{t}_{2}}-{{t}_{1}})={{c}_{zh}}{{m}_{1}}({{t}_{0}}-{{t}_{2}})\Rightarrow \frac{{{c}_{V}}\rho V({{t}_{2}}-{{t}_{1}})}{{{c}_{zh}}{{m}_{1}}}={{t}_{0}}-{{t}_{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow {{t}_{0}}=\frac{{{c}_{V}}\rho V({{t}_{2}}-{{t}_{1}})}{{{c}_{zh}}{{m}_{1}}}+{{t}_{2}}$

Считаем: помним, что обязательно все параметры необходимо перевести в единицы СИ ( $\displaystyle {{t}_{1}}=5+273=278$ К, $\displaystyle {{t}_{2}}=15+273=288$ К, $\displaystyle V=3,0$ л $\displaystyle =3,0$ дм $\displaystyle ^{3}$ = $\displaystyle 3,0*{{10}^{-3}}$ м $\displaystyle ^{3}$ ). Кроме того, подсматриваем константы ( $\displaystyle {{c}_{V}}=4200$ Дж/(моль*К), $\displaystyle {{c}_{zh}}=460$ Дж/(моль*К), $\displaystyle \rho =1000$ кг/м $\displaystyle ^{3}$ ).