Уравнение теплового баланса. Расчёт. Уходящая, приходящая энергия

Существует ряд задач на смешение веществ, обладающих различным агрегатным состоянием и температурой. Такие задачи обычно начинаются со слов: «в жидкость с определённой температурой вносят тело другой температуры». Далее в такой системе происходит уход энергии из одной части системы к другой. Для описания такого перераспределения энергии можно использовать достаточно простую логику: если система теплоизолирована (энергия не выходит из системы), то сумма энергий, которые выделяются из всех частей системы, равна сумме энергий, которые поглощаются всеми частями системы, что называется уравнением теплового баланса:

$\displaystyle \sum{{{Q}_{in}}}=\sum{{{Q}_{out}}}$ (1)

где
- $\displaystyle \sum{{{Q}_{in}}}$ — сумма теплот от процессов, требующих затрат энергии,
- $\displaystyle \sum{{{Q}_{out}}}$ — сумма теплот от процессов, требующих отвода энергии.

Для решения таких задач достаточно энергетически проследить все преобразования вещества из начального состояния в конечное, причём для всех веществ. Рассмотрим процессы:

процессы, требующие увода энергии из системы:
- конденсация ( $\displaystyle {{Q}_{r}}=rm$ )
- кристаллизация ( $\displaystyle {{Q}_{L}}=Lm$ )
- охлаждение ( $\displaystyle {{Q}_{C}}=cm\Delta T$ )
процессы, требующие энергию:
- кипение ( $\displaystyle {{Q}_{r}}=rm$ )
- плавление ( $\displaystyle {{Q}_{L}}=Lm$ )
- нагревание ( $\displaystyle {{Q}_{C}}=cm\Delta T$ )

Проследим все процессы превращения на примере обычной воды. Для воды хорошо известны температура плавления льда ( $\displaystyle {{t}_{0}}=0{}^{\circ }C$ ) и температура кипения воды ( $\displaystyle {{t}_{100}}=100{}^{\circ }C$ ). Возьмём лёд при изначальной температуре $\displaystyle t=-20{}^{\circ }C$ , начнём его равномерно нагревать. Визуализируем этот процесс в координатах $\displaystyle t(\tau )$ — температура объекта от времени нагревания (рис. 1).

Рис. 1. Фазовые превращения воды

Итак, лёд при низкой температуре начинают нагревать. Рассмотрим процессы, происходящие с выбранным нами веществом:

процесс АВ — процесс нагревания твёрдого тела (льда), который продолжается до достижения температуры плавления (точка В),
процесс ВС — процесс плавления, который продолжается до момента полного перехода твёрдого тела (льда) в жидкое состояние (вода) (точка С). При этом образовавшаяся жидкость (вода) находится при температуре плавления,
процесс CD — процесс нагревания жидкости (воды), который продолжается до достижения температуры кипения (точка D),
процесс DE — процесс парообразования (кипения), который продолжается до момента полного перехода тела из жидкой фазы (вода) в газообразное состояние (пар) (точка E). При этом образовавшийся газ (пар) находится при температуре кипения,
процесс EF — процесс нагревания газообразной фазы (пара). Условно бесконечен.

Общий вид рис. 1, в целом, одинаков для большинства веществ, меняются только температуры плавления/кристаллизации, парообразования/конденсации, углы наклона графика к горизонтальной оси.

Пример: пусть в систему, содержащую массу льда $\displaystyle {{m}_{1}}$ при температуре $\displaystyle {{t}_{1}}<{{t}_{0}}$ , внесли массу пара $\displaystyle {{m}_{2}}$ при температуре $\displaystyle {{t}_{2}}>{{t}_{100}}$ , найти установившуюся температуру воды ( $\displaystyle {{t}_{k}}$ ).

Т.к. в задаче дана вода, поэтому у нас есть несколько констант. $\displaystyle {{t}_{0}}$ — температура плавления льда, $\displaystyle {{t}_{100}}$ — температура кипения воды, $\displaystyle {{c}_{L}}$ — теплоёмкость льда, $\displaystyle {{c}_{w}}$ — теплоёмкость воды, $\displaystyle {{c}_{g}}$ — теплоёмкость пара, $\displaystyle r$ — удельная теплота парообразования, $\displaystyle L$ — удельная теплота плавления льда.

Разделим эту задачу на две составляющие:

процессы, требующие отвода энергии.

В нашем случае, тело, от которого уходит энергия, — это пар. Проследим его превращения: сначала пар остывает ( $\displaystyle Q={{c}_{g}}{{m}_{2}}({{t}_{2}}-{{t}_{100}})$ ) до температуры кипения, потом пар конденсируется ( $\displaystyle Q=r{{m}_{2}}$ ), далее образовавшаяся масса воды охлаждается до конечной температуры ( $\displaystyle Q={{c}_{w}}{{m}_{2}}({{t}_{100}}-{{t}_{k}})$ ).

Тогда общая энергия, потерянная паром:

$\displaystyle \sum{{{Q}_{out}}}={{c}_{g}}{{m}_{2}}({{t}_{2}}-{{t}_{100}})+r{{m}_{2}}+{{c}_{w}}{{m}_{2}}({{t}_{100}}-{{t}_{k}})$ (2)

процессы, требующие затрат энергии:

В нашем случае, тело, которое принимает энергию, — это лёд. Проследим его превращения: сначала лёд нагревается ( $\displaystyle Q={{c}_{L}}{{m}_{1}}({{t}_{1}}-{{t}_{0}})$ ) до температуры плавления, далее лёд плавится ( $\displaystyle Q=L{{m}_{1}}$ ), после чего образовавшаяся масса воды нагревается до конечной температуры ( $\displaystyle Q={{c}_{w}}{{m}_{1}}({{t}_{k}}-{{t}_{0}})$ ).

Тогда общая энергия, полученная льдом:

$\displaystyle \sum{{{Q}_{in}}}={{c}_{L}}{{m}_{1}}({{t}_{1}}-{{t}_{0}})+L{{m}_{1}}+{{c}_{w}}{{m}_{1}}({{t}_{k}}-{{t}_{0}})$ (3)

Подставим (2) и (3) в (1):

$\displaystyle {{c}_{L}}{{m}_{1}}({{t}_{1}}-{{t}_{0}})+L{{m}_{1}}+{{c}_{w}}{{m}_{1}}({{t}_{k}}-{{t}_{0}})={{c}_{g}}{{m}_{2}}({{t}_{2}}-{{t}_{100}})+r{{m}_{2}}+{{c}_{w}}{{m}_{2}}({{t}_{100}}-{{t}_{k}})$ (4)

Уравнение (4) и является искомым для получения интересующей нас температуры. В принципе, решение подобных задач (и план, описанный выше) создан для получения уравнения, подобного уравнению (4). Далее математическое разрешение данного уравнения приводит к ответу.

Вывод: Т.е. для решения подобного типа задач достаточно провести анализ, подобный уравнениям (2) и (3), и решить уравнение (4).

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ