Вертикальный пружинный маятник совершает гармонические колебания

Задача. Вертикальный пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой \displaystyle A=3,0 см. Определите смещение \displaystyle {{x}_{1}} груза от положения равновесия в точке, в которой на него действует возвращающая сила, модуль которой \displaystyle F=40 мН, если полная механическая энергия маятника \displaystyle W=5,2 мДж.

Дано:

\displaystyle A=3,0 см
\displaystyle F=40 мН
\displaystyle W=5,2 мДж

Найти:
\displaystyle {{x}_{1}} — ?

Решение

Думаем: смещение груза от положения равновесия в пружинном маятнике по сути является растяжением пружины в данный момент времени. Тогда растяжение пружины (которое можно найти через силу и энергию), исходя из нашего дано, легче найти через силу:

\displaystyle F=k{{x}_{1}} (1)

Неизвестную жёсткость пружины получим из полной энергии. Анализ полной энергии можно свести к плану. Нам задана полная механическая энергия, что говорит о том, что она равно сумме всех механических энергий в любой точке колебания. Самая простая точка (нам задана амплитуда — т.е. максимальное растяжение) колебания — это нижняя точка колебания вертикального маятника. В этой точке скорость тела равна нулю, потенциальная энергия также нулевая, тогда:

\displaystyle W=\frac{k{{A}^{2}}}{2} (2)

Решаем: искомая неизвестная находится в (1), в этом соотношении не хватает жёсткости пружины. Выразим жёсткость из (2):

\displaystyle W=\frac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow 2W=k{{A}^{2}}\Rightarrow k=\frac{2W}{{{A}^{2}}} (3)

Подставим (3) в (1) и выразим искомое:

\displaystyle F=k{{x}_{1}}=\frac{2W}{{{A}^{2}}}{{x}_{1}}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{F{{A}^{2}}}{2W} (4)

Считаем: не забываем перевести все параметры в единицы СИ.

\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{40*{{10}^{-3}}{{\left( 3,0*{{10}^{-2}} \right)}^{2}}}{2*5,2*{{10}^{-3}}}\approx 3,5*{{10}^{-3}} м

Ответ: \displaystyle {{x}_{1}}\approx 3,5 мм.

Ещё задачи на тему «Энергия гармонических колебаний».