Энергия гармонических колебаний

Введём энергию колебания.

Колебательная система движется со скоростью \displaystyle \upsilon , тогда его кинетическая энергия должна быть равна:

\displaystyle E=\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2} (1)

  • где
    • \displaystyle E — кинетическая энергия системы
    • \displaystyle m — масса колеблющегося тела
    • \displaystyle \upsilon — скорость тела в данный момент

Вспомним зависимость скорости от времени при гармоническом колебании:

\displaystyle \upsilon =A\omega \sin (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (2)

  • где
    • \displaystyle A — амплитуда (максимальное значение) колебания
    • \displaystyle \omega — циклическая частота колебания
    • \displaystyle {{\varphi }_{0}} — начальная фаза колебания
    • \displaystyle t — время от начала колебания

Подставим (2) в (1) при условии \displaystyle {{\varphi }_{0}}=0 (для упрощения):

\displaystyle E=\frac{m{{(A\omega \sin (\omega t))}^{2}}}{2} = \displaystyle \frac{m{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}{{\sin }^{2}}(\omega t)}{2} (3)

Тогда максимальная кинетическая энергия данной системы:

\displaystyle {{E}_{\max }}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2} (4)

т.к. максимальное значение \displaystyle \sin (\omega t)=1.

С другой стороны для пружинного маятника можем записать потенциальную энергию деформации:

\displaystyle E=\frac{k{{x}^{2}}}{2} (5)

  • где
    • \displaystyle E — потенциальная энергия деформации
    • \displaystyle k — жёсткость пружины

Вспомним зависимость координаты от времени при гармоническом колебании:

\displaystyle x=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}}) (6)

Подставим (5) в (4) при условии \displaystyle {{\varphi }_{0}}=0 (для упрощения):

\displaystyle E=\frac{k{{(A\cos (\omega t))}^{2}}}{2} = \displaystyle \frac{k{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}(\omega t)}{2} (7)

Тогда максимальная потенциальная энергия данной системы:

\displaystyle {{E}_{\max }}=\frac{k{{A}^{2}}}{2} (8)

т.к. максимальное значение \displaystyle \cos (\omega t)=1.

Вывод: задачи школьной физики чаще всего связаны именно с максимальным значением энергии колебания. Её можно рассчитать и как кинетическую энергию в положении равновесия (4), и как потенциальную энергию в точке максимального отклонения (8).

Добавить комментарий