Задача Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор

Задача. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно ребру его обкладки (рис. 1) со скоростью , модуль которой $\displaystyle \upsilon =4,5\cdot {{10}^{6}}$ м/с. Расстояние между обкладками $\displaystyle d=3,0$ мм, длина каждой из них $\displaystyle l=80$ мм. Определите напряжение на конденсаторе, если при движении в его электростатическом поле электрон сместился от первоначального направления на расстояние $\displaystyle h=1,0$ мм. Действием силы тяжести пренебречь.

Дано:

$\displaystyle \upsilon =4,5\cdot {{10}^{6}}$ м/с
$\displaystyle d=3,0$ мм
$\displaystyle l=80$ мм
$\displaystyle h=1,0$ мм

Найти:
$\displaystyle E$ — ?

Решение

Рис. 1. Электрон в плоском конденсаторе

Думаем: скорости и расстояния из дано можно обсудить через движение. Для движения электрона в поле конденсатора можно рассмотреть все силы, действующие на тело, и, исходя из этого, выяснить тип движения. Влетев в конденсатор, на электрон начинает действовать сила Кулона со стороны электрического поля конденсатора. Эта сила единственная, которая действует на электрон (силой тяжести мы пренебрегли), она и отклоняет тело от прямолинейного движения. Для анализа движения воспользуемся планом и вторым законом Ньютона:

$\displaystyle \vec{a}=\frac{\sum{{{{\vec{F}}}_{i}}}}{m}$ (1)

где
- $\displaystyle \sum{{{{\vec{F}}}_{i}}}$ — векторная сумма сил, действующих на тело
- $\displaystyle m$ — масса тела
- $\displaystyle \vec{a}$ — ускорение тела

Исходя из возможного полученного движения, варианты использования соотношений:

для равномерного движения:

$\displaystyle S=\upsilon t$ (2)

где
- $\displaystyle S$ — путь при равномерном движении,
- $\displaystyle \upsilon$ — скорость при равномерном движении,
- $\displaystyle t$ — время равномерного движения.
для равнопеременного движения:

$\displaystyle S=\upsilon t+\frac{a{{t}^{2}}}{2}$ (3)

где
- $\displaystyle S$ — путь при равнопеременном движении,
- $\displaystyle \upsilon$ — начальная скорость при равнопеременном движении,
- $\displaystyle a$ — ускорение,
- $\displaystyle t$ — время при равнопеременном движения.

Силу Кулона мы уже упоминали, и она нам понадобится:

$\displaystyle F=qE$ (4)

где
- $\displaystyle q$ — заряд, на который действует поле,
- $\displaystyle E$ — напряжённость поля.

Решаем: рассмотрим все силы, действующие на заряд и запишем (1) на выбранные оси (рис. 2).

Рис. 2. Силы, действующие на электрон в конденсаторе

Тогда:

для ОХ — сумма сил вдоль этой оси равна 0, что говорит о том, что ускорения нет ( $\displaystyle a=0$ ) и движение вдоль этой оси равномерное. Тогда для движения вдоль этой оси мы можем использовать соотношение (2).
для OY, используя (1) и (4):

$\displaystyle qE=ma$ (5)

Неизвестное ускорение в (5) найдём из движения вдоль оси OY, оно — равноускоренное (вследствие действия силы (4)), тогда из (3), при условии нулевой начальной скорости вдоль оси OY:

$\displaystyle h=\frac{a{{t}^{2}}}{2}$ (6)

Неизвестное время узнаем через оставшуюся переменную — длину конденсатора, он же путь для равномерного движения электрона вдоль оси OX:

$\displaystyle l=\upsilon t$ (7)

Выразим время из (7), подставим в (6) и выразим ускорение:

$\displaystyle h=\frac{a{{t}^{2}}}{2}=\frac{a}{2}{{\left( \frac{l}{\upsilon } \right)}^{2}}\Rightarrow a=\frac{2h{{\upsilon }^{2}}}{{{l}^{2}}}$ (8)

Осталось подставить (8) в (5) и выразить искомое, также применим условие $\displaystyle q=\left| e \right|=1,6*{{10}^{-19}}$ Кл:

$\displaystyle qE=m\frac{2h{{\upsilon }^{2}}}{{{l}^{2}}}\Rightarrow E=\frac{2hm{{\upsilon }^{2}}}{e{{l}^{2}}}$ (9)

Считаем: не забываем про перевод всех параметров в единицы СИ. Также нам необходимо вспомнить массу электрона $\displaystyle m=9,1*{{10}^{-31}}$ кг.

$\displaystyle E=\frac{2*1,0*{{10}^{-3}}*9,1*{{10}^{-31}}*{{\left( 4,5*{{10}^{6}} \right)}^{2}}}{1,6*{{10}^{-19}}{{\left( 80*{{10}^{-3}} \right)}^{2}}}=36$ Н/м

Ответ: $\displaystyle E=36$ Н/м.

Ещё задачи на тему «Плоский конденсатор. Электроёмкость»

Поделиться ссылкой: