Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно ребру

Задача. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно ребру его обкладки (рис. 1) со скоростью , модуль которой \displaystyle \upsilon =4,5\cdot {{10}^{6}} м/с. Расстояние между обкладками \displaystyle d=3,0 мм, длина каждой из них \displaystyle l=80 мм. Определите напряжение на конденсаторе, если при движении в его электростатическом поле электрон сместился от первоначального направления на расстояние \displaystyle h=1,0 мм. Действием силы тяжести пренебречь.

Дано:

\displaystyle \upsilon =4,5\cdot {{10}^{6}} м/с
\displaystyle d=3,0 мм
\displaystyle l=80 мм
\displaystyle h=1,0 мм

Найти:
\displaystyle E — ?

Решение

Рис. 1. Электрон в плоском конденсаторе

Рис. 1. Электрон в плоском конденсаторе

Думаем: скорости и расстояния из дано можно обсудить через движение. Для движения электрона в поле конденсатора можно рассмотреть все силы, действующие на тело, и, исходя из этого, выяснить тип движения. Влетев в конденсатор, на электрон начинает действовать сила Кулона со стороны электрического поля конденсатора. Эта сила единственная, которая действует на электрон (силой тяжести мы пренебрегли), она и отклоняет тело от прямолинейного движения. Для анализа движения воспользуемся планом и вторым законом Ньютона:

\displaystyle \vec{a}=\frac{\sum{{{{\vec{F}}}_{i}}}}{m} (1)

  • где
    • \displaystyle \sum{{{{\vec{F}}}_{i}}} — векторная сумма сил, действующих на тело
    • \displaystyle m — масса тела
    • \displaystyle \vec{a} — ускорение тела

Исходя из возможного полученного движения, варианты использования соотношений:

\displaystyle S=\upsilon t (2)

  • где
    • \displaystyle S — путь при равномерном движении,
    • \displaystyle \upsilon — скорость при равномерном движении,
    • \displaystyle t — время равномерного движения.
  • для равнопеременного движения:

\displaystyle S=\upsilon t+\frac{a{{t}^{2}}}{2} (3)

  • где
    • \displaystyle S — путь при равнопеременном движении,
    • \displaystyle \upsilon — начальная скорость при равнопеременном движении,
    • \displaystyle a — ускорение,
    • \displaystyle t — время при равнопеременном движения.

Силу Кулона мы уже упоминали, и она нам понадобится:

\displaystyle F=qE (4)

  • где
    • \displaystyle q — заряд, на который действует поле,
    • \displaystyle E — напряжённость поля.

Решаем: рассмотрим все силы, действующие на заряд и запишем (1) на выбранные оси (рис. 2).

Рис. 2. Силы, действующие на электрон в конденсаторе

Рис. 2. Силы, действующие на электрон в конденсаторе

Тогда:

  • для ОХ — сумма сил вдоль этой оси равна 0, что говорит о том, что ускорения нет (\displaystyle a=0) и движение вдоль этой оси равномерное. Тогда для движения вдоль этой оси мы можем использовать соотношение (2).
  • для OY, используя (1) и (4):

\displaystyle qE=ma (5)

Неизвестное ускорение в (5) найдём из движения вдоль оси OY, оно — равноускоренное (вследствие действия силы (4)), тогда из (3), при условии нулевой начальной скорости вдоль оси OY:

\displaystyle h=\frac{a{{t}^{2}}}{2} (6)

Неизвестное время узнаем через оставшуюся переменную — длину конденсатора, он же путь для равномерного движения электрона вдоль оси OX:

\displaystyle l=\upsilon t (7)

Выразим время из (7), подставим в (6) и выразим ускорение:

\displaystyle h=\frac{a{{t}^{2}}}{2}=\frac{a}{2}{{\left( \frac{l}{\upsilon } \right)}^{2}}\Rightarrow a=\frac{2h{{\upsilon }^{2}}}{{{l}^{2}}} (8)

Осталось подставить (8) в (5) и выразить искомое, также применим условие \displaystyle q=\left| e \right|=1,6*{{10}^{-19}} Кл:

\displaystyle qE=m\frac{2h{{\upsilon }^{2}}}{{{l}^{2}}}\Rightarrow E=\frac{2hm{{\upsilon }^{2}}}{e{{l}^{2}}} (9)

Считаем: не забываем про перевод всех параметров в единицы СИ. Также нам необходимо вспомнить массу электрона \displaystyle m=9,1*{{10}^{-31}} кг.

\displaystyle E=\frac{2*1,0*{{10}^{-3}}*9,1*{{10}^{-31}}*{{\left( 4,5*{{10}^{6}} \right)}^{2}}}{1,6*{{10}^{-19}}{{\left( 80*{{10}^{-3}} \right)}^{2}}}=36 Н/м

Ответ\displaystyle E=36 Н/м.

Ещё задачи на тему «Плоский конденсатор. Электроёмкость»