Задача. Под действием двух чугунных кубиков, объёмом каждый

Задача. Под действием двух чугунных кубиков, объёмом $\displaystyle V=0,20$ дм³ каждый, пружина растянулась на $\displaystyle l=8$ см. На сколько растянется пружина, если к ней подвесить чугунную деталь массой $\displaystyle {{m}_{2}}=2,2$ кг?

Дано:

$\displaystyle l=8$ см
$\displaystyle {{m}_{2}}=2,2$ кг
$\displaystyle V=0,20$ дм³

Найти:
$\displaystyle \Delta x$ — ?

Решение

Думаем: искомое растяжение пружины единственным образом можно найти из закона Гука или энергии растяжения. Т.к. тела, вызывающие растяжение в задаче имеют заданный параметр массы, то разумнее использовать силовой подход. Т.к. тело покоится, то ускорение тела равно нулю, а исходя из второго закона Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело рано нулю:

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}=0}$ (1)

Кроме того, нам зачем-то дано, что тела состоят из чугуна.

Решаем: воспользуемся силой Гука:

$\displaystyle {{F}_{2}}=k\Delta x\Rightarrow \Delta x=\frac{{{F}_{2}}}{k}$ (2)

Рис. 1. Системы и силы в задаче.

Нарисуем систему (рис. 1). Для формулировки (2) использована сила $\displaystyle {{F}_{2}}$ т.к. интересующее нас растяжение соответствует подвесу чугунной детали (рис. 1.2). $\displaystyle k$ — жёсткость пружины. Эти параметры нам и неизвестны. Силу возьмём из модифицированного нами второго закона Ньютона (1) в проекции на соответствующую ось (рис. 1.2):

$\displaystyle {{F}_{2}}-{{m}_{2}}g=0\Rightarrow {{F}_{2}}={{m}_{2}}g$ (3)

Для нахождения жёсткости пружины воспользуемся знанием о том, что все тела подвешивали к одной и той же пружине (как в первом так и во втором случае), тогда в случае уравнения (1) для первой системы с учётом закона Гука и растяжения пружины в первом случае $\displaystyle l$ получим:

$\displaystyle {{F}_{1}}-mg-mg=0\Rightarrow k\l-mg-mg=0$ $\displaystyle \Rightarrow k\l=2mg\Rightarrow k=\frac{2mg}{l}$ (4)

Введённая масса кубиков ( $\displaystyle m$ ) может быть найдена через плотность тела и последнее неиспользованное дано — объём тела:

$\displaystyle m=\rho V$ (5)

За счёт того, что нам дан материал тела — чугун, мы уже знаем его плотность.

Неизвестных параметров у нас не осталось, так что занимаемся математикой. Подставим (5) в (4):

$\displaystyle k=\frac{2\rho Vg}{l}$ (6)

Затем подставим (3) и (6) в (2) и сократим:

$\displaystyle \Delta x=\frac{{{m}_{2}}gl}{2\rho Vg}=\frac{{{m}_{2}}}{2\rho V}l$ (7)

Осталось посчитать.

Считаем: плотность чугуна узнаём из таблиц — $\displaystyle \rho =7,750$ г/см $\displaystyle ^{3}$ , объём переведём в см $\displaystyle ^{3}$ , $\displaystyle V=0,20*1000=200$ см $\displaystyle ^{3}$ . Массу детали возьмём в граммах — $\displaystyle m=2,2*1000=2200$ г. Выбранные размерности — сугубо наше решение, так проще.

$\displaystyle \Delta x=\frac{2200}{2*7,750*200}8=5,7$ см

Ответ: $\displaystyle \Delta x=5,7$ см.

Важно: для нашей задачи мы не переводили все размерности в единицы СИ, в принципе переход не обязателен, главное следить, чтобы размерности величин в соотношении совпадали.

Ещё задачи на тему «Статика».

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ