Задача Два маленьких шарика массой г каждый подвешены в одной

Задача. Два маленьких шарика массой $\displaystyle m=50$ г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной $\displaystyle l=10$ см. Определите, какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол $\displaystyle \alpha =120$ ^о.

Дано:

$\displaystyle m=50$ г
$\displaystyle l=10$ см
$\displaystyle \alpha =30$ ^о

Найти:
$\displaystyle q$ — ?

Решение

Думаем: заряд шариков можно обнаружить в силе их взаимодействия, т.е в силе Кулона.

$\displaystyle F=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}$ (1)

где
- $\displaystyle {{q}_{1}}$ , $\displaystyle {{q}_{2}}$ — взаимодействующие заряды,
- $\displaystyle r$ — расстояние между центрами взаимодействующих зарядов
- $\displaystyle k\approx 9*{{10}^{9}}$ Н*м $\displaystyle ^{2}$ /Кл $\displaystyle ^{2}$ — постоянная, характерная для взаимодействия зарядов в вакууме/воздухе.

Саму силу Кулона можно найти исходя из второго закона Ньютона:

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=m\vec{a}$ (2)

Соотношение (2) рассмотрим исходя из соответствующего плана.

Решение: если принять во внимание, что в задаче сказано о двух одинаковых зарядах, то

$\displaystyle q={{q}_{1}}={{q}_{2}}$ (3)

Тогда искомый заряд найдём из (1). Значение самой силы проанализируем исходя из плана. Для этого сделаем рисунок и расставим все силы, действующие на тело (рис. 1) причём в виде, когда заряженные шарики уже разошлись на соответствующий угол.

Рис. 1. Силы, действующие на тело

За счёт симметрии системы можем рассмотреть только одно тело, т.к. силы, действующие на второе и его угол отклонения совпадают. Как видим, на тело действуют сила тяжести, сила натяжения нити, и сила взаимодействия между зарядами (она же сила Кулона). Т.к. тело покоится, то ускорение тела равно нулю ( $\displaystyle a=0$ ), тогда в соотношении (2) сумма сил, действующих на тело также равно нулю. Введём оси и спроецируем (2) на OX и OY (рис. 2).

Рис. 2. Оси и силы в задаче

Если с проекцией силы тяжести и силы Кулона всё достаточно понятно, то с силой натяжения нити нужно немного разобраться. Вдоль оси OX проекция силы $\displaystyle T\sin \frac{\alpha }{2}$ (синяя линия), вдоль оси OY — $\displaystyle T\cos \frac{\alpha }{2}$ . Тогда:

вдоль оси OX: $\displaystyle -F+T\sin \frac{\alpha }{2}=0$ (4)
вдоль оси OY: $\displaystyle T\cos \frac{\alpha }{2}-mg=0$ (5)

Выразим силу натяжения нити из (5) и подставим в (4):

$\displaystyle T=\frac{mg}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

$\displaystyle -F+\frac{mg}{\cos \frac{\alpha }{2}}\sin \frac{\alpha }{2}=0$ $\displaystyle \Rightarrow -F+mg*tg\frac{\alpha }{2}=0$ $\displaystyle \Rightarrow F=mg*tg\frac{\alpha }{2}$ (6)

Подставим (1) в (6) при условии (3):

$\displaystyle k\frac{{{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}=mg*tg\frac{\alpha }{2}$ (7)

Выразим искомое:

$\displaystyle q=r\sqrt{\frac{mg*tg{}^{\alpha }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{k}}$ (8)

Последнее, что нам осталось обсудить — параметр $\displaystyle r$ — расстояние между зарядами. Такие вопросы являются чисто геометрическими (рис. 3).

Рис. 3. Геометрия системы

Т.к. $\displaystyle \alpha ={{120}^{\circ }}$ , то треугольник не прямоугольный, значит нам понадобится теорема косинусов. Воспользуемся ею:

$\displaystyle {{r}^{2}}={{l}^{2}}+{{l}^{2}}-2ll\cos \alpha$ $\displaystyle \Rightarrow {{r}^{2}}=2{{l}^{2}}-2{{l}^{2}}\cos \alpha =2{{l}^{2}}(1-\cos \alpha )$ $\displaystyle \Rightarrow r=l\sqrt{2(1-\cos \alpha )}$ (9)

Подставим (9) в (8):

$\displaystyle q=l\sqrt{2(1-\cos \alpha )}\sqrt{\frac{mg*tg{}^{\alpha }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{k}}$ (10)

Считаем: осталось вспомнить значение ускорения свободного падения ( $\displaystyle g=10$ м/с $\displaystyle ^{2}$ ). И не забываем осуществить перевод всех величины в СИ.

$\displaystyle q=0,1*\sqrt{2(1-\cos {{120}^{\circ }})}\sqrt{\frac{50*{{10}^{-3}}*10*tg{}^{{{120}^{\circ }}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{9*{{10}^{9}}}}$ $\displaystyle =0,1*\sqrt{2(1-(-0,5))}\sqrt{\frac{5*{{10}^{-1}}*\sqrt{3}}{9*{{10}^{9}}}}$ $\displaystyle =1,7*{{10}^{-6}}$ Кл

Ответ: $\displaystyle q=1,7*{{10}^{-6}}$ Кл.

Ещё задачи на тему «Заряд. Закон Кулона»

Поделиться ссылкой: