Пассажирский катер половину времени двигался с постоянной скоростью, модуль которой. Модуль его средней скорости

Задача. Пассажирский катер половину времени двигался с постоянной скоростью, модуль которой \displaystyle {{\upsilon }_{1}}=20\, км/ч. С какой по модулю постоянной скоростью он должен двигаться в течение оставшегося времени, чтобы модуль его средней скорости равнялся \displaystyle <\upsilon >=10 м/с?

Дано:

\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=20\, км/ч
\displaystyle <\upsilon >=10 м/с

Найти:
\displaystyle {{\upsilon }_{2}} — ?

Решение

Задача 8

Рис. 1. Движение катера

Думаем: вопрос задачи связан с определением средней скорости движения. Движение состоит из нескольких участков с постоянной скоростью, поэтому визуализируем движение (рис. 1). Пусть катер начинает двигаться из точки А, далее  в точке B тело меняет свою скорость и приходит в точку С. Занесём на рисунок все переменные из дано и найти.

В тексте мы встречаем неявное дано (т.е. слова, указывающие на какие-либо особенности движения). В нашем случае, это слова «половину времени двигался». Это значит, что движение разделено на два участка по равенству времени (на нашем рисунке это дано записано как \displaystyle {}^{t}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; для каждого из участков). Таким образом, мы незаметно ввели \displaystyle t — как параметр, описывающий всё время движения.

Решаем: среднюю скорость движения мы можем найти как отношение всего пути движения ко всему времени движения. Введём обозначение пути (\displaystyle S), тогда:

\displaystyle <\upsilon >=\frac{S}{t}\, (1)

В правой части уравнения всё неизвестно. Искать неизвестные в таком случае лучше используя фразу «ищем то, про что не знаем больше». В нашем случае мы хоть что-то знаем про время (оно делится пополам), значит начнём с пути. Движение тела в задаче условно разделено на два движения с одинаковой по модулю скоростью в рамках этого движения:

\displaystyle S={{S}_{1}}+{{S}_{2}} (2)

В правой части (2) опять куча неизвестных, но они уже непосредственно связаны с дано. В дано у нас есть скорость равномерного движения. Свяжем скорость и путь при данном движении и выделим оттуда путь

\displaystyle \upsilon =\frac{S}{\Delta t}\,  \displaystyle \Rightarrow  \displaystyle S=\upsilon \Delta t (3)

Адаптируем (3) к нашим неизвестным в (2) с учётом того, что \displaystyle \Delta t=\,{}^{t}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;:

\displaystyle {{S}_{1}}={{\upsilon }_{1}}\frac{t}{2} (4)

\displaystyle {{S}_{2}}={{\upsilon }_{2}}\frac{t}{2} (5)

 В целом, в (4) и (5) мы не знаем времени движения, однако мы оставили его в (1) без рассмотрения, оставим и здесь. Подставим (4) и (5) в (2) и немного преобразуем:

\displaystyle S={{\upsilon }_{1}}\frac{t}{2}+{{\upsilon }_{2}}\frac{t}{2}=({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})\frac{t}{2} (6)

И, наконец, подставим (6) в (1):

\displaystyle <\upsilon >=\frac{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})\frac{t}{2}}{t}=\frac{t}{2}\frac{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}{t}=\frac{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}{2} (7)

Как видно из (7), время сократилось. Тогда, наконец-то, перейдём к самому вопросу задачи. Зачем мы всё это делали? Анализируя дано и найти, нам надо было связать скорости на каждом участке пути со средней скоростью движения. Собственно, в (7) нам это удалось сделать. Тогда:

\displaystyle <\upsilon >=\frac{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}{2} \displaystyle \Rightarrow  \displaystyle 2<\upsilon >={{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}} \displaystyle \Rightarrow  \displaystyle {{\upsilon }_{2}}=2<\upsilon >-{{\upsilon }_{1}} (8)

В правой части уравнения всё известно, можем считать. Однако численно есть небольшая проблема: скорости в дано имеют различную размерность. Тогда нам нужно перевести всё дано в одну размерность: \displaystyle <\upsilon >=10 м/с=\displaystyle 10*3,6=36 км/ч.

Считаем:

\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=2*36-20=52 (км/ч)

Ответ: \displaystyle {{\upsilon }_{2}}=52 (км/ч)

Ещё задачи по теме «Средняя скорость»

Добавить комментарий