Задача с решением. Автомобиль проехал на север в течение времени.

Задача. Автомобиль проехал $\displaystyle {{S}_{1}}\,=\,20\,$ км, двигаясь на север в течение $\displaystyle {{t}_{1}}=\,15\,$ мин. Затем ему пришлось свернуть на восток и проехать ещё $\displaystyle {{S}_{2}}\,=\,30$ км за время $\displaystyle {{t}_{2}}=\,20$ мин, после чего он снова повернул на север и достиг конечного пункта, проехав ещё $\displaystyle {{S}_{3}}\,=\,40$ км в течение $\displaystyle {{t}_{3}}=\,5$ мин. Найти путь $\displaystyle {{S}_{o}}$ и модуль перемещение $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ автомобиля. Насколько путь больше модуля перемещения? Найти среднюю скорость движения и среднюю скорость перемещения.

Дано:

$\displaystyle {{S}_{1}}\,=\,20\,$ км $\displaystyle {{t}_{1}}=\,15\,$ мин $\displaystyle {{S}_{2}}\,=\,30$ км $\displaystyle {{t}_{2}}=\,20$ мин $\displaystyle {{S}_{3}}\,=\,40$ км $\displaystyle {{t}_{3}}=\,5$ мин

Найти:
$\displaystyle {{S}_{o}}$ — ?

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ — ?

$\displaystyle \frac{{{S}_{o}}}{\left| \Delta \vec{r} \right|}$ — ?

$\displaystyle <\upsilon >$ -?

$\displaystyle \left| <\vec{\upsilon }> \right|$ — ?

Решение:

Рис. 1. Путь и перемещение

Думаем: вопросы задачи можно условно разделить на две группы: первые связаны с траекторией движения, вторые с определением средних скоростей. И тот, и другой тип задач требует рисунка, давайте его и нарисуем (рис. 1). В задаче автомобиль, находившийся в точке А проехал на север (В), далее свернул на восток, достигнув С, и продолжил движение на север до D. Соответствующие параметры движения заданы на рисунке.

Решаем: траектория движения тела — ломаная прямая, состоящая из нескольких отрезков. Обратимся к первому вопросу задачи: по определению, путь — скалярная физическая величина, численно равная длине траектории, т.е. для нахождения пути необходимо найти расстояние, пройденное телом за интересующее время движения. Тогда:

$\displaystyle {{S}_{o}}={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}$ (1)

Рис. 2. Нахождение модуля перемещения

Перейдём ко второму вопросу: чему равен модуль перемещения $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|$ тела? По определению: перемещение — векторная физическая величина — вектор, соединяющий начальную и конечную точку движения. Т.е. для нахождения перемещения необходимо найти модуль вектора перемещения (длину этого вектора) и направление данного вектора. На нашем рисунке он обозначен зелёным. Опять пользуемся фразой «вектор должен быть частью чего-то или состоять из чего-то». В нашем случае, ничем хорошим он толком не является, так что подумаем, как дополнить рисунок, чтобы его можно было без проблем найти. Самое простое, что мы умеем считать по длинам — это прямоугольный треугольник. Исходя их этого, представим (рис. 2).

В данном случае, наш модуль вектора перемещения — гипотенуза прямоугольного треугольника ADE с катетами $\displaystyle {{S}_{2}}$ и $\displaystyle {{S}_{1}}+{{S}_{3}}$ . Для её нахождения воспользуемся теоремой Пифагора:

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=\sqrt{S_{2}^{2}+{{({{S}_{1}}+{{S}_{3}})}^{2}}}$ (2)

Характеристики траектории формульно найдены (не считаем, перейдём ко второму блоку вопросов). По определению среднюю скорость пути можно найти как отношение пройденного пути ко всему времени движения:

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{{{S}_{o}}}{t}$ (3)

Если с общим путём мы уже разобрались в (1), то общее время движения пока неизвестно, но в задаче 3 участка, а в дано есть все три времени движения на этих участках, тогда:

$\displaystyle t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}$ (4)

Теперь (3), с учётом (1) и (4):

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}}$ (5)

И последний вопрос задачи. Как обычно, начинаем с определения: среднюю скорость перемещения можно найти как отношение модуля перемещения ко всему времени движения:

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{\left| \Delta \vec{r} \right|}{t}$ (6)

С учётом (2) и (4):

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{\sqrt{S_{2}^{2}+{{({{S}_{1}}+{{S}_{3}})}^{2}}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}}$ (7)

И вот теперь, когда справа во всех соотношениях стоят известные величины, мы можем считать.

Считаем:

$\displaystyle {{S}_{0}}=20+30+40=90$ км

$\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|=\sqrt{{{30}^{2}}+{{(20+40)}^{2}}}\approx 67$ км

$\displaystyle \frac{{{S}_{0}}}{\left| \Delta \vec{r} \right|}=\frac{90}{67}\approx 1,34$

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{20+30+40}{15+20+5}=2,25$ км/мин

$\displaystyle \left| <\vec{\upsilon }> \right|=\frac{\sqrt{{{30}^{2}}+{{(20+40)}^{2}}}}{15+20+5}\approx 1,68$ км/мин

В целом, у нас всё посчитано, но не лишним было бы перевести скорость в удобные для нас единицы (км/ч):

$\displaystyle \upsilon =2,25$ км/мин = $\displaystyle 2,25*60$ км/ч = 135 км/ч

$\displaystyle \left| <\vec{\upsilon }> \right|\approx 1,68$ км/мин = $\displaystyle 1,68*60$ км/ч = 100,80 км/ч

Ответ: $\displaystyle {{S}_{0}}=90$ км; $\displaystyle \left| \Delta \vec{r} \right|\approx 67$ км; $\displaystyle \frac{{{S}_{0}}}{\left| \Delta \vec{r} \right|} \approx 1,34$ ; $\displaystyle \upsilon$ = 135 км/ч; $\displaystyle \left| <\vec{\upsilon }> \right|\approx$ 100,80 км/ч;

Ещё задачи по теме «Средняя скорость»

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ