Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов прямой ( $\displaystyle {{90}^{{}^\circ }}$ ).

Для нахождения параметров прямоугольного треугольника можно пользоваться тем, что он остаётся треугольником. Т.е. все формульные зависимости, характеризующие произвольный треугольник, применимы и для прямоугольного, однако то, что наш объект именно прямоугольный треугольник, даёт несколько новых возможностей для расчёта (рис. 1).

У такого треугольника вводятся собственные обозначения: так стороны, содержащие (примыкающие) к прямому углу, называются катетами ( $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ ), а сторона, находящаяся против угла в $\displaystyle {{90}^{{}^\circ }}$ , называется гипотенузой ( $\displaystyle c$ ). Наиболее часто используемым соотношением для прямоугольного треугольника является теорема Пифагора, связывающая катеты треугольника с гипотенузой.

Кроме того, в данном треугольнике можно по-другому найти высоты, биссектрисы и медианы.

биссектриса через катеты

$\displaystyle f=\sqrt{2}\frac{ab}{a+b}$ (1)

биссектриса через гипотенузу и один из углов

$\displaystyle f=\frac{2c}{\sqrt{2}}\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\sin \alpha +\cos \beta }$ (2)

биссектриса через катет и один из углов

$\displaystyle f=\frac{a}{\cos (\beta /2)}$ (3)

биссектриса через катет и гипотенузу

$\displaystyle f=a\sqrt{\frac{2c}{a+c}}$ (4)

медиана через гипотенузу

$\displaystyle m=\frac{c}{2}$ (5)

медиана через катеты (следствие т. Пифагора)

$\displaystyle m=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ (6)

медиана через катет и один из углов

$\displaystyle m=\frac{a}{2\sin \alpha }=\frac{b}{2\sin \beta }$ (7)

высота через катеты

$\displaystyle h=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ (8)

высота через гипотенузу и углы

$\displaystyle h=c\sin \alpha \cos \alpha =c\sin \beta \cos \beta$ (9)

высота через катет и угол

$\displaystyle h=b\sin \alpha =a\sin \beta$ (10)

Прямоугольный треугольник (тригонометрия)

Рис. 2. Прямоугольный треугольник (тригонометрия)

Кроме того, на основании прямоугольного треугольника вводятся понятия ряда тригонометрических функций (рис. 2)

Синусом угла альфа ( $\displaystyle \sin \alpha$ ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\displaystyle \sin \alpha =\frac{a}{c}$ (11)

Косинусом угла альфа ( $\displaystyle \cos \alpha$ ) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\displaystyle \cos \alpha =\frac{b}{c}$ (12)

Тангенсом угла альфа ( $\displaystyle tg \alpha$ ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\displaystyle tg \alpha =\frac{a}{b}$ (13)

Котангенсом угла альфа ( $\displaystyle ctg \alpha$ ) называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

$\displaystyle ctg \alpha =\frac{b}{a}$ (14)

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Iconic One Theme | Powered by Wordpress