В сосуд, содержащий воду объёмом при температуре

Задача. В сосуд, содержащий воду объёмом \displaystyle {{V}_{1}}=3,5 л при температуре \displaystyle {{t}_{1}}=40 оС, бросили кусок стали массой \displaystyle {{m}_{2}}=5,0 кг, нагретый до температуры \displaystyle {{t}_{2}}=380 оС. В результате теплообмена вода нагрелась до температуры \displaystyle {{t}_{3}}=50 оС, а часть её обратилась в пар. Определите массу воды, обратившейся в пар. Теплоёмкостью сосуда можно пренебречь. Для воды: удельная теплоёмкость \displaystyle {{c}_{1}}=4,2\cdot {{10}^{3}} Дж/(кг ∙ К), плотность \displaystyle {{\rho }}=1,0\cdot {{10}^{3}} кг/м3, удельная теплота парообразования \displaystyle {{L}_{1}}=2,26\cdot {{10}^{6}} Дж/кг, температура кипения \displaystyle {{t}_{k}}=100 оС. Удельная теплоёмкость стали \displaystyle {{c}_{2}}=4,6\cdot {{10}^{2}} Дж/(кг ∙ К).

Дано:

\displaystyle {{V}_{1}}=3,5 л
\displaystyle {{t}_{1}}=40 оС
\displaystyle {{m}_{2}}=5,0 кг
\displaystyle {{t}_{2}}=380 оС
\displaystyle {{t}_{3}}=50 оС
\displaystyle {{c}_{1}}=4,2\cdot {{10}^{3}} Дж/(кг ∙ К)
\displaystyle {{\rho }}=1,0\cdot {{10}^{3}} кг/м3
\displaystyle {{L}_{1}}=2,26\cdot {{10}^{6}} Дж/кг
\displaystyle {{t}_{k}}=100 оС
\displaystyle {{c}_{2}}=4,6\cdot {{10}^{2}} Дж/(кг ∙ К)

Найти:
\displaystyle {{m}_{p}} — ?

Решение

Думаем: вопросы теплообмена в системе между более нагретыми и менее нагретыми частями, а также вопросы взаимного превращения веществ в различных формах агрегатных состояний — это задачи на уравнение теплового баланса. Общая логика решения таких задач — это анализ суммарной теплоты, отданной одной частью системы и теплоты, принятой другой частью системы. Тогда:

\displaystyle {{Q}_{ot}}={{Q}_{pr}} (1)

Решаем:

Разберёмся с веществами и процессами:

  • приводящие к отдаче тепла — кусок стали остывает до температуры \displaystyle {{t}_{3}}, тогда:

\displaystyle {{Q}_{ot}}={{c}_{2}}{{m}_{2}}({{T}_{2}}-{{T}_{3}}) (2)

\displaystyle {{Q}_{prin}}={{c}_{1}}{{m}_{1}}({{T}_{3}}-{{T}_{1}})+{{c}_{1}}{{m}_{p}}({{T}_{k}}-{{T}_{3}})+{{L}_{1}}{{m}_{p}} (3)

Введённые нами температуры — это заданные температуры, приведённые в градусах Кельвина.

Осталось подставить (2) и (3) в (1):

\displaystyle {{c}_{2}}{{m}_{2}}({{T}_{2}}-{{T}_{3}})={{c}_{1}}{{m}_{1}}({{T}_{3}}-{{T}_{1}})+{{c}_{1}}{{m}_{p}}({{T}_{k}}-{{T}_{3}})+{{L}_{1}}{{m}_{p}} (4)

Осталось найти выразить искомую массу:

\displaystyle {{c}_{2}}{{m}_{2}}({{T}_{2}}-{{T}_{3}})-{{c}_{1}}{{m}_{1}}({{T}_{3}}-{{T}_{1}})={{m}_{p}}*({{c}_{1}}({{T}_{k}}-{{T}_{3}})+{{L}_{1}})\Rightarrow \displaystyle {{m}_{p}}=\frac{{{c}_{2}}{{m}_{2}}({{T}_{2}}-{{T}_{3}})-{{c}_{1}}{{m}_{1}}({{T}_{3}}-{{T}_{1}})}{({{c}_{1}}({{T}_{k}}-{{T}_{3}})+{{L}_{1}})} (5)

Единственный параметр, не рассмотренный в соотношении (5) — масса воды, кроме того у нас осталось ещё два неиспользованных параметра —  объём и плотность воды, тогда \displaystyle {{m}_{1}}=\rho {{V}_{1}}. С учётом этого в (5):

\displaystyle {{m}_{p}}=\frac{{{c}_{2}}{{m}_{2}}({{T}_{2}}-{{T}_{3}})-{{c}_{1}}\rho {{V}_{1}}({{T}_{3}}-{{T}_{1}})}{({{c}_{1}}({{T}_{k}}-{{T}_{3}})+{{L}_{1}})} (6)

Считаем: в общем случае все температуры необходимо перевести в градусы Кельвина, однако разность температур одинакова как в градусах Кельвина, так и в градусах Цельсия. Осталось перевести объём в единицы СИ: \displaystyle {{V}_{1}}=3,5 \displaystyle =3,5 дм\displaystyle ^{3} \displaystyle =3,5*{{10}^{-3}} м\displaystyle 3.

Тогда:

\displaystyle {{m}_{p}}=\frac{4,6*{{10}^{2}}*5,0*(380-50)-4,2*{{10}^{3}}*1,0*{{10}^{3}}*3,5*{{10}^{-3}}*(50-40)}{(4,2*{{10}^{3}}*(100-50)+2,26*{{10}^{6}})}\displaystyle =\frac{7,59*{{10}^{5}}-1,47*{{10}^{5}}}{(2,10*{{10}^{6}}+2,26*{{10}^{6}})}\displaystyle =\frac{6,12*{{10}^{5}}}{4,36*{{10}^{6}}}=0,14 кг.

Ответ: \displaystyle {{m}_{p}}=0,14 кг.

Ещё задачи на тему «Фазовые превращения«.