Задача Определите ускорение, с которым начнёт двигаться частица

Задача. Определите ускорение, с которым начнёт двигаться частица массой $\displaystyle m=4,0$ мг и зарядом $\displaystyle q=13,5$ нКл в однородном горизонтально направленном электростатическом поле, модуль напряжённости которого $\displaystyle E=6,0\cdot {{10}^{7}}$ В/м. Какой путь пройдёт частица за первую секунду движения?

Дано:

$\displaystyle m=4,0$ мг
$\displaystyle q=13,5$ нКл
$\displaystyle E=6,0\cdot {{10}^{7}}$ В/м
$\displaystyle t=1$ с

Найти:
$\displaystyle a$ — ?
$\displaystyle S$ — ?

Решение

Думаем: вопросы ускорения связаны с использованием второго закона Ньютона.

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=m\vec{a}$ (1)

Использование второго закона Ньютона лучше всего проводить по соответствующему плану. Силу, действующую на заряд в электростатическом поле можно найти исходя из определения напряжённости:

$\displaystyle \vec{F}=q\vec{E}$ (2)

Т.к. движение равноускоренное, то расстояния можно найти как:

$\displaystyle \Delta \vec{r}={{\vec{\upsilon }}_{0}}t+\frac{\vec{a}{{t}^{2}}}{2}$ (3)

Решаем: согласно плану нарисуем рисунок, расставим все силы, действующие на тело, введём оси и запишем второй закон Ньютона (рис. 1).

Рис. 1. Силы, действующие на заряд

Для двух сил проще рассмотреть векторную сумму этих сил ( $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}$ ), т.к. исходя из (1), суммарный вектор направлен также как и ускорение. Проиллюстрируем (рис. 2).

Рис. 2. Суммарный вектор силы, действующей на тело

Из рис. 2 следует, что модуль суммарного вектора силы, действующей на тело можно найти из прямоугольного треугольника через теорему Пифагора:

$\displaystyle \left| \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}} \right|=\sqrt{{{F}^{2}}+{{\left( mg \right)}^{2}}}$ (4)

Исходя из (1):

$\displaystyle \sqrt{{{F}^{2}}+{{\left( mg \right)}^{2}}}=ma$ (5)

Подставим (2) в (5) и выразим искомое ускорение:

$\displaystyle \sqrt{{{\left( qE \right)}^{2}}+{{\left( mg \right)}^{2}}}=ma\Rightarrow a=\frac{\sqrt{{{\left( qE \right)}^{2}}+{{\left( mg \right)}^{2}}}}{m}$ (6)

Путь, который преодолела частица найдём через (3) в проекции на ось OX. При этом учтём, что фраза «за первую секунду движения» говорит о том, что начальной скорости не было ( $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}=0$ ):

$\displaystyle S=\frac{a{{t}^{2}}}{2}$ (7)

Подставим (6) в (7):

$\displaystyle S=\frac{\sqrt{{{\left( qE \right)}^{2}}+{{\left( mg \right)}^{2}}}}{m}\frac{{{t}^{2}}}{2}$ (8)

Считаем: вспомним значение ускорения свободного падения ( $\displaystyle g=10$ м/с $\displaystyle ^{2}$ ).

$\displaystyle a=\frac{\sqrt{{{\left( 13,5*{{10}^{-9}}*6,0*{{10}^{7}} \right)}^{2}}+{{\left( 4,0*{{10}^{-3}}*10 \right)}^{2}}}}{4,0*{{10}^{-3}}}$ $\displaystyle \Rightarrow a=\frac{\sqrt{{{10}^{-4}}\left[ {{\left( 81,0 \right)}^{2}}+{{\left( 4,0 \right)}^{2}} \right]}}{4,0*{{10}^{-3}}}$ $\displaystyle =\frac{\sqrt{\left[ {{\left( 81,0 \right)}^{2}}+{{\left( 4,0 \right)}^{2}} \right]}}{4,0*{{10}^{-1}}}$ $\displaystyle =\frac{\sqrt{\left[ {{\left( 81,0 \right)}^{2}}+{{\left( 4,0 \right)}^{2}} \right]}}{4,0*{{10}^{-1}}}\approx 2,0*{{10}^{2}}$ м/с $\displaystyle ^{2}$

$\displaystyle S=\frac{\sqrt{{{\left( 81,0*{{10}^{-2}} \right)}^{2}}+{{\left( 4,0*{{10}^{-2}} \right)}^{2}}}}{4,0*{{10}^{-3}}}\frac{{{1}^{2}}}{2}\approx 1,0*{{10}^{2}}$ м

Ответ: $\displaystyle a\approx 2*{{10}^{2}}$ м/с $\displaystyle ^{2}$ ; $\displaystyle S\approx 1,0*{{10}^{2}}$ м.

Ещё задачи на тему «Напряжённость электростатического поля»

Поделиться ссылкой: