Колебательный контур. LCR, LC - контур. Катушка индуктивности

Колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединённых конденсатора с ёмкостью $\displaystyle C$ , катушки с индуктивностью $\displaystyle L$ и электрического сопротивления $\displaystyle R$ .

Идеальный колебательный контур — цепь, состоящая только из катушки индуктивности (не имеющей собственного сопротивления) и конденсатора ( $\displaystyle LC$ -контур). Тогда в такой системе поддерживаются незатухающие электромагнитные колебания силы тока в цепи, напряжения на конденсаторе и заряда конденсатора. Давайте разберём контур и подумаем, откуда возникают колебания. Пусть изначально заряженный конденсатор помещён в описываемую нами цепь.

Рис. 1. Колебательный контур

В начальный момент времени весь заряд сосредоточен на конденсаторе, на катушке тока нет (рис. 1.1). Т.к. на обкладках конденсатора внешнего поля тоже нет, то электроны с обкладок начинают «уходить» в цепь (заряд на конденсаторе начинает уменьшаться). При этом (за счёт освобождённых электронов) возрастает ток в цепи. Направление тока, в данном случае, от плюса к минусу (впрочем, как и всегда), и конденсатор представляет собой источник переменного тока для данной системы. Однако при росте тока на катушке, вследствие явления электромагнитной индукции, возникает обратный индукционный ток ( $\displaystyle {{I}_{i}}$ ). Направление индукционного тока, согласно правилу Ленца, должно нивелировать (уменьшать) рост основного тока. Когда заряд конденсатора станет равным нулю (весь заряд стечёт), сила индукционного тока в катушке станет максимальной (рис. 1.2).

Однако текущий заряд в цепи пропасть не может (закон сохранения заряда), тогда этот заряд, ушедший с одной обкладки через цепь, оказался на другой обкладке. Таким образом, происходит перезарядка конденсатора в обратную сторону (рис. 1.3). Индукционный ток на катушке уменьшается до нуля, т.к. изменение магнитного потока также стремится к нулю.

При полной зарядке конденсатора электроны начинают двигаться в обратную сторону, т.е. происходит разрядка конденсатора в обратную сторону и возникает ток, доходящий до своего максимума при полной разрядке конденсатора (рис. 1.4).

Дальнейшая обратная зарядка конденсатора приводит в систему в положение на рисунке 1.1. Такое поведение системы повторяется сколь угодно долго. Таким образом, мы получаем колебание различных параметров системы: тока в катушке, заряд на конденсаторе, напряжение на конденсаторе. В случае идеальности контура и проводов (отсутствие собственного сопротивления), эти колебания — гармонические.

Для математического описания этих параметров этой системы (в первую очередь, периода электромагнитных колебаний) вводится рассчитанная до нас формула Томсона:

$\displaystyle T=2\pi \sqrt{LC}$ (1)

где
- $\displaystyle T$ — период электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре,
- $\displaystyle \pi \approx 3,1416$ — константа,
- $\displaystyle L$ — индуктивность контура,
- $\displaystyle C$ — электроёмкость конденсатора.

Неидеальным контуром является всё тот же идеальный контур, который мы рассмотрели, с одним небольшим включением: с наличием сопротивления $\displaystyle R$ ( $\displaystyle LCR$ -контур). Данное сопротивление может быть как сопротивлением катушки (она не идеальна), так и сопротивлением проводящих проводов. Общая логика возникновения колебаний в неидеальном контуре аналогична той, что и в идеальном. Отличие только в самих колебаниях. В случае наличия сопротивления, часть энергии будет рассеиваться в окружающую среду — сопротивление будет нагреваться, тогда энергия колебательного контура будет уменьшаться и сами колебания станут затухающими.

Для работы с контурами в школе используется только общая энергетическая логика. В данном случае, считаем, что полная энергия системы в начале сосредоточена на конденсаторе и/или катушке, и описывается:

$\displaystyle {{E}_{c}}=\frac{qU}{2}=\frac{C{{U}^{2}}}{2}=\frac{{{q}^{2}}}{2C}$ (2)

где
- $\displaystyle {{E}_{c}}$ — текущая энергия конденсатора,
- $\displaystyle q$ — текущий заряд на конденсаторе,
- $\displaystyle U$ — текущее напряжение на конденсаторе,
- $\displaystyle C$ — электроёмкость конденсатора.

$\displaystyle {{E}_{L}}=\frac{L{{I}^{2}}}{2}$ (3)

где
- $\displaystyle {{E}_{L}}$ — текущая энергия катушки,
- $\displaystyle L$ — индуктивность катушки,
- $\displaystyle I$ — текущее значение силы тока.

Для идеального контура полная энергия системы остаётся постоянной:

$\displaystyle {{E}_{o}}={{E}_{c}}+{{E}_{L}}=const$ (4)

где
- $\displaystyle {{E}_{o}}$ — полная энергия колебательной системы.

Для неидеального контура часть начальной энергии переходит в тепло, что можно описать законом Джоуля-Ленца. Тогда энергетические превращения в таком контуре можно описать:

$\displaystyle {{E}_{c1}}+{{E}_{L1}}={{E}_{c2}}+{{E}_{L2}}+A$ (5)

где
- $\displaystyle {{E}_{c1}}$ , $\displaystyle {{E}_{L1}}$ — начальные значения энергии конденсатора и катушки,
- $\displaystyle {{E}_{c2}}$ , $\displaystyle {{E}_{L2}}$ — конечные значения энергии конденсатора и катушки,
- $\displaystyle A$ -работа тока (энергия, ушедшая из системы через нагревание сопротивления).

Вывод: работа с контурами достаточно сложна. Чаще всего это работа со схемами, в которых присутствуют ключи. Энергетически рассмотреть переход из начального состояния в конечное практически невозможно, тогда стоит работать с начальным и конечным положением системы. Определяем вид контура (идеальный/неидеальный) и рассмотреть энергию системы в обоих случаях. Далее, используя (4) или (5), получаем уравнение, которое можно решать.

Поделиться ссылкой: