Однородное и неоднородное поле. Работа и энергия

Часть задач школьного уровня связана с поиском работы и энергии в электростатическом поле.

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

Поле однородно

Однородным называется поле, напряжённость которого во всех точках одинакова ( $\displaystyle \vec{E}=\overrightarrow{const}$ ). Поместим в данное поле заряд $\displaystyle q$ . Тогда, исходя из определения напряжённости электростатического поля, модуль силы, действующей на заряд:

$\displaystyle F=qE$ (1)

где
- $\displaystyle F$ — сила, действующая на заряд (сила Кулона),
- $\displaystyle q$ — заряд в поле,
- $\displaystyle E$ — напряжённость электростатического поля.

Вспомним определение механической работы:

$\displaystyle A=F\Delta r\cos \alpha$ (2)

где
- $\displaystyle A$ — работа силы,
- $\displaystyle \Delta r$ — перемещение тела под действием силы,
- $\displaystyle \cos \alpha$ — косинус угла между направлением силы и перемещением тела.

Подставим (1) в (2):

$\displaystyle A=qE\Delta r\cos \alpha$ (3)

Соотношение (3) удобно для поиска работы, в случае заряда в однородном электростатическом поле.

Важно: в задачах однородное поле должно быть задано самим выражением «считать поле однородным», также электростатическое поле плоского конденсатора можно считать однородным.

Поле неоднородно

Неоднородным называется поле, напряжённость которого непостоянно в различных точках пространства. В случае неоднородности поля, воспользуемся выражением (3):

$\displaystyle A=qE\Delta r\cos \alpha$ = $\displaystyle qE({{r}_{2}}-{{r}_{1}})\cos \alpha$ = $\displaystyle q(E{{r}_{2}}\cos \alpha -E{{r}_{1}}\cos \alpha )$ (4)

Мы воспользовались определением перемещения: разность конечного ( $\displaystyle {{r}_{2}}$ ) и начального ( $\displaystyle {{r}_{1}}$ ) положения тела.

Исходя из определения потенциала:

$\displaystyle Er\cos \alpha$ = $\displaystyle El$ = $\displaystyle \varphi$ (5)

где
- $\displaystyle l=r\cos \alpha$ — проекция вектора на выбранную ось,
- $\displaystyle \varphi =El$ — потенциал в точке.

Тогда, если ввести $\displaystyle {{\varphi }_{1}}=E{{r}_{1}}\cos \alpha$ и $\displaystyle {{\varphi }_{2}}=E{{r}_{2}}\cos \alpha$ , получим:

$\displaystyle A=q({{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}})$ (6)

Т.е. в неоднородном электростатическом поле (а на самом деле, в любом), работа по переносу заряда численно равна переносимому заряду, умноженному на разность потенциалов между точками переноса.

Важно: неоднородное поле в задаче вводится через саму фразу «поле неоднородное» и через источники: точечный заряд, шар, которые также создают неоднородные поля.

Вывод: в задачах на нахождение работы по переносу заряда необходимо выяснить характер поля (однородное или неоднородное) и применить соответствующее выражение (3) или (6).

Энергия взаимодействия зарядов

А теперь обсудим энергию взаимодействия зарядов. Энергия взаимодействие зарядов на школьном уровне даётся без вывода, поэтому мы тоже ещё просто зафиксируем:

$\displaystyle {{E}_{p}}=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{r}=\frac{1}{4\pi \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{r}$ (7)

где
- $\displaystyle {{E}_{p}}$ — потенциальная энергия взаимодействия зарядов,
- $\displaystyle {{q}_{1}}$ , $\displaystyle {{q}_{2}}$ — взаимодействующие заряды,
- $\displaystyle r$ — расстояние от заряда-источника до точки наблюдения,
- $\displaystyle k\approx 9*{{10}^{9}}$ Н*м $\displaystyle ^{2}$ /Кл $\displaystyle ^{2}$ — постоянная.
- $\displaystyle \pi$ — постоянная ( $\displaystyle \pi \approx 3,1415$ ),
- $\displaystyle {{\varepsilon }_{0}}$ — электрическая постоянная ( $\displaystyle {{\varepsilon }_{0}}\approx 8,85*{{10}^{-12}}$ Ф/м),
- $\displaystyle \varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды (параметр, характеризующий способность среды проводить электрическое поле). Данный параметр является табличным.