Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс, прямоугол

Рис. 1. Прямоугольный треугольник (тригонометрия)

Для прямоугольного треугольника можно ввести ряд тригонометрических функций, которые позволяют связать углы треугольника со сторонами треугольника. Пусть наш прямоугольный треугольник имеет катеты $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ и гипотенузу $\displaystyle c$ . Углы $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta$ — углы, лежащие против сторон $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ соответственно.

Тогда:

синусом угла называется отношения противолежащего катета к гипотенузе, в нашем треугольнике есть два угла, соответственно можем записать:

$\displaystyle \sin \,\alpha =\frac{a}{c}$ (1)

$\displaystyle \sin \,\beta =\frac{b}{c}$ (2)

т.е. для каждого угла, текст определения остаётся тем же (отношения противолежащего катета к гипотенузе), а стороны треугольника берутся своими.

косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, в нашем случае:

$\displaystyle \cos \,\alpha =\frac{b}{c}$ (3)

$\displaystyle \cos \,\beta =\frac{a}{c}$ (4)

Исходя из (1) и (4), а также (2) и (3) можно сделать вывод, что для прямоугольного треугольника:

$\displaystyle \sin \alpha =\cos \beta$ или $\displaystyle \sin \beta =\cos \alpha$

А также, если учесть, что $\displaystyle \alpha ={{90}^{\circ }}-\beta$ , то:

$\displaystyle \sin \beta =\cos ({{90}^{\circ }}-\beta )$ или $\displaystyle \sin ({{90}^{\circ }}-\beta )=\cos \beta$

тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему, в нашем случае:

$\displaystyle tg\alpha =\frac{a}{b}$ (5)

$\displaystyle tg\beta =\frac{b}{a}$ (6)

котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему, в нашем случае:

$\displaystyle ctg\alpha =\frac{b}{a}$ (7)

$\displaystyle ctg\beta =\frac{a}{b}$ (8)

Сравнив (5) и (7), можем заметить, что:

$\displaystyle ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }$ (9)

Вывод: основы тригонометрии необходимы для решения задач, в которых исследуются векторные физические величины. Чаще всего, исходя из тригонометрии, находят проекции векторов на оси, таким образом, тригонометрия несёт вспомогательную функцию.

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ