Задача После посадки рыбака в воду с вертикальными бортами

Задача. После посадки рыбака в воду с вертикальными бортами и площадью дна $\displaystyle S=2,5$ м² лодка погрузилась в воду дополнительно на $\displaystyle h=30$ мм. Определите массу рыбака.

Дано:

$\displaystyle S=2,5$ м²
$\displaystyle h=30$ мм

Найти:
$\displaystyle {{m}_{r}}$ — ?

Решение

Думаем: массу рыбака, как и любую другую массу, можно получить из силы тяжести, а соответственно, из второго закона Ньютона. Т.к. на тело действуют силы (мы можем использовать силовой подход для решения задачи). то можем воспользоваться планом. Кроме того, и в случае пустой лодки, и в случае лодки с рыбаком, можно говорить о том, что система покоится, т.е. ускорение зануляется ( $\displaystyle a=0$ ). Тогда второй закон Ньютона для случая равновесия тел:

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=0$ (1)

где
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}$ — сумма сил, действующих на тело.

Одна из сил, действующих на тело — сила Архимеда:

$\displaystyle {{F}_{A}}={{\rho }_{zh}}gV$ (2)

где
- $\displaystyle {{\rho }_{zh}}$ — плотность жидкости,
- $\displaystyle V$ — объём погружённой части тела.

Анализируя фразу «с вертикальными бортами» говорит о геометрии системы, т.е. лодку мы можем представить как площадь с вертикальными стенками, что позволит нам найти объём через:

$\displaystyle V=SL$ (3)

где
- L — высота погружённой части лодки.

Решаем: т.к. обе системы (лодка и рыбак в лодке покоятся), а сил, действующих на тело только две ( сила тяжести и сила Архимеда), то мы можем сделать вывод, что они равны и разнонаправлены. Тогда запишем (1) для обоих случаев:

одиночная лодка:

$\displaystyle {{m}_{l}}g={{\rho }_{zh}}g{{V}_{1}}$ (4)

лодка с человеком:

$\displaystyle {{m}_{2}}g={{\rho }_{zh}}g{{V}_{2}}$ (5)

Мы ввели определённые параметры системы:

$\displaystyle {{m}_{l}}$ — масса лодки,
$\displaystyle {{m}_{2}}$ — масса лодки с человеком,
$\displaystyle {{V}_{1}}$ — изначальный объём погружённой части лодки,
$\displaystyle {{V}_{2}}$ — объём погружённой части лодки с погруженным в неё человеком.