Задача Пенопластовый буй объёмом дм3 удерживается леской так

Задача. Пенопластовый буй объёмом $\displaystyle V=5$ дм³ удерживается леской так, что ровно половина его погружена в воду. Какие силы действуют на буй? Определите значение каждой из них. Плотность пенопласта $\displaystyle \rho =200$ кг/м³.

Дано:

$\displaystyle V=5$ дм³
$\displaystyle \rho =200$ кг/м³

Найти:
$\displaystyle F$ — ?

Решение

Думаем: вопросы о силах можно рассмотреть исходя из анализа присутствия/отсутствия механических сил и сил иной природы. Нарисуем тело и расставим силы, действующие на тело (рис. 1).

Рис. 1. Расстановка сил в задаче

Проанализируем: т.к. пенопластовый буй, очевидно, имеет массу, то на него должна действовать сила тяжести ( $\displaystyle mg$ ), с другой стороны, тело находится в жидкости, тогда на него также должна действовать сила Архимеда ( $\displaystyle {{F}_{A}}$ ). Кроме того, тело удерживается леской, значит на тело действует сила натяжения нити ( $\displaystyle T$ ). Совмещением всех этих сил занимается второй закон Ньютона, который, в случае покоящегося тела ( $\displaystyle a=0$ :

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=0$ (1)

где
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}$ — векторная сумма сил, действующих на тело

Силу Архимеда можно найти исходя из её определения:

$\displaystyle {{F}_{A}}={{\rho }_{zh}}gV$ (2)

где
- $\displaystyle {{\rho }_{zh}}$ — плотность жидкости,
- $\displaystyle V$ — объём погружённой части тела

Нехватку массы компенсируем через неиспользованное дано — плотность:

$\displaystyle m=\rho V$ (3)

Решаем: для введения искомых сил используем (1) в проекции на введённую ось OY:

$\displaystyle {{F}_{A}}-mg-T=0$ (4)

Разберём каждую из сил по-отдельности. Для силы тяжести не хватает массы тела, возьмём её из (3), тогда:

$\displaystyle mg=\rho Vg$ (5)

Силу Архимеда возьмём из (2) при условии, что объём погружённой части тела — половина объёма всего тела:

$\displaystyle {{F}_{A}}={{\rho }_{zh}}g\frac{V}{2}$ (6)

Оставшуюся силу натяжения нити возьмём из (4) при условии (5) и (6):

$\displaystyle T={{F}_{A}}-mg$ $\displaystyle \Rightarrow T={{\rho }_{zh}}g\frac{V}{2}-\rho Vg=gV(\frac{{{\rho }_{zh}}}{2}-\rho )$ (7)

Считаем: вспоминаем необходимые константы — ускорение свободного падения ( $\displaystyle g=10$ м/с<sup>2</sup>), плотность воды ( $\displaystyle {{\rho }_{zh}}=1000$ кг/м<sup>3</sup>). И не забываем перевести все переменные в единицы СИ.