Пенопластовый буй объёмом удерживается леской

Задача. Пенопластовый буй объёмом \displaystyle V=5 дм3 удерживается леской так, что ровно половина его погружена в воду. Какие силы действуют на буй? Определите значение каждой из них. Плотность пенопласта \displaystyle \rho =200 кг/м3.

Дано:

\displaystyle V=5 дм3
\displaystyle \rho =200 кг/м3

Найти:
\displaystyle F — ?

Решение

Думаем: вопросы о силах можно рассмотреть исходя из анализа присутствия/отсутствия механических сил и сил иной природы. Нарисуем тело и расставим силы, действующие на тело (рис. 1).

Рис. 1. Расстановка сил в задаче

Рис. 1. Расстановка сил в задаче

Проанализируем: т.к. пенопластовый буй, очевидно, имеет массу, то на него должна действовать сила тяжести (\displaystyle mg), с другой стороны, тело находится в жидкости, тогда на него также должна действовать сила Архимеда (\displaystyle {{F}_{A}}). Кроме того, тело удерживается леской, значит на тело действует сила натяжения нити (\displaystyle T). Совмещением всех этих сил занимается второй закон Ньютона, который, в случае покоящегося тела (\displaystyle a=0:

\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=0 (1)

  • где
    • \displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}} — векторная сумма сил, действующих на тело

Силу Архимеда можно найти исходя из её определения:

\displaystyle {{F}_{A}}={{\rho }_{zh}}gV (2)

  • где
    • \displaystyle {{\rho }_{zh}} — плотность жидкости,
    • \displaystyle V — объём погружённой части тела

Нехватку массы компенсируем через неиспользованное дано — плотность:

\displaystyle m=\rho V (3)

Решаем: для введения искомых сил используем (1) в проекции на введённую ось OY:

\displaystyle {{F}_{A}}-mg-T=0 (4)

Разберём каждую из сил по-отдельности. Для силы тяжести не хватает массы тела, возьмём её из (3), тогда:

\displaystyle mg=\rho Vg (5)

Силу Архимеда возьмём из (2) при условии, что объём погружённой части тела — половина объёма всего тела:

\displaystyle {{F}_{A}}={{\rho }_{zh}}g\frac{V}{2} (6)

Оставшуюся силу натяжения нити возьмём из (4) при условии (5) и (6):

\displaystyle T={{F}_{A}}-mg \displaystyle \Rightarrow T={{\rho }_{zh}}g\frac{V}{2}-\rho Vg=gV(\frac{{{\rho }_{zh}}}{2}-\rho ) (7)

Считаем: вспоминаем необходимые константы — ускорение свободного падения (\displaystyle g=10 м/с<sup>2</sup>), плотность воды (\displaystyle {{\rho }_{zh}}=1000 кг/м<sup>3</sup>). И не забываем перевести все переменные в единицы СИ.

Для силы тяжести:

\displaystyle mg=200*10*5*{{10}^{-3}}=10 Н

Для силы Архимеда:

\displaystyle {{F}_{A}}=1000*10*\frac{5*{{10}^{-3}}}{2}=25 Н

Для силы натяжения нити:

\displaystyle T=1000*5*{{10}^{-3}}*(\frac{1000}{2}-200)=15 Н

Ответ\displaystyle mg=10 Н; \displaystyle {{F}_{A}}=25 Н; \displaystyle T=15 Н.