Задача Динамометр с висящим телом в воздухе показывает Н

Задача. Динамометр с висящим телом в воздухе показывает $\displaystyle {{F}_{1}}=2,2$ Н, а в воде при полном погружении тела — $\displaystyle {{F}_{2}}=1,4$ Н. Определите объём тела и плотность вещества.

Дано:

$\displaystyle {{F}_{1}}=2,2$ Н
$\displaystyle {{F}_{2}}=1,4$ Н

Найти:
$\displaystyle V$ — ?
$\displaystyle \rho$ — ?

Решение

Думаем: изменение показания динамометра связано с погружением тела в воду. Тогда можем сделать вывод — при погружении в жидкость на тело начинает действовать некая сила, мы уже ещё знаем — это сила Архимеда. За счёт того, что мы рассматриваем силы, мы можем воспользоваться планом. Тогда нам понадобится второй закон Ньютона для равновесия (в случае если $\displaystyle a=0$ ):

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=0$ (1)

где
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}$ — сумма всех сил, действующих на тело

Объём вещества найдём в самом законе Архимеда:

$\displaystyle {{F}_{A}}={{\rho }_{zh}}gV$ (2)

где
- $\displaystyle {{\rho }_{zh}}$ — плотность жидкости, в которую поместили тело

Плотность вещества можно найти через определение массы:

$\displaystyle m=\rho V$ (3)

Решаем: пользуясь планом, сделаем рисунок (рис. 1), расставив все силы, действующие на тело. У нас две системы: тело в воздухе и тело в жидкости. На тело в воздухе действует искомая сила со стороны динамометра и сила тяжести. На тело в жидкости действует уже рассмотренная нами добавочная сила Архимеда.

Рис. 1. Расстановка сил в задаче

Запишем (1) в проекции на ось OY:

для левого рисунка (тело в воздухе):

$\displaystyle {{F}_{1}}-mg=0$ (4)

для правого рисунка (тело в жидкости):

$\displaystyle {{F}_{A}}+{{F}_{2}}-mg=0$ (5)

Искомый объём найдём из силы Архимеда (2) при подстановке в (5). Неизвестную силу тяжести возьмём из (4), тогда:

$\displaystyle {{\rho }_{zh}}gV+{{F}_{2}}-{{F}_{1}}=0\Rightarrow V=\frac{{{F}_{1}}-{{F}_{2}}}{{{\rho }_{zh}}g}$ (6)

Исходя из (3) найдём плотность тела и подставим в получившееся уравнение (6):

$\displaystyle \rho =\frac{m}{V}=m\frac{{{F}_{1}}-{{F}_{2}}}{{{\rho }_{zh}}g}$ (7)

Массу выразим из (4):

$\displaystyle \begin{array}{l}{{F}_{1}}-mg=0\Rightarrow m=\frac{{{F}_{1}}}{g}\\{{\rho }_{zh}}gV+{{F}_{2}}-{{F}_{1}}=0\Rightarrow V=\end{array}$ (8)

Подставим (8) в (7):

$\displaystyle \rho =\frac{{{F}_{1}}}{g}\frac{{{\rho }_{zh}}g}{{{F}_{1}}-{{F}_{2}}}={{\rho }_{zh}}\frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{1}}-{{F}_{2}}}$ (9)

Считаем: не забываем константы $\displaystyle {{\rho }_{zh}}=1000$ кг/м $\displaystyle ^{3}$ — плотность воды (табличные данные), $\displaystyle g=10$ м/с $\displaystyle ^{2}$ — ускорение свободного падения.

$\displaystyle V=\frac{2,2-1,4}{1000*10}=8*{{10}^{-5}}$ м $\displaystyle ^{3}$

$\displaystyle \rho =1000*\frac{2,2}{2,2-1,4}\approx 2,8*{{10}^{3}}$ кг/м $\displaystyle ^{3}$

Ответ: $\displaystyle V=8*{{10}^{-5}}$ м $\displaystyle ^{3}$ ; $\displaystyle \rho \approx 2,8*{{10}^{3}}$ кг/м $\displaystyle ^{3}$ .

Ещё задачи на тему «Закон Архимеда».

Поделиться ссылкой: