Задача. Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со

Задача. Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со скоростью, модуль которой $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=72$ км/ч, а вторую половину — со скоростью, в $\displaystyle n=2$ раз меньшей. Найти среднюю скоростью движения автомобиля на всём пути.

Дано:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=72$ км/ч
$\displaystyle n=2$

Найти:
$\displaystyle <\upsilon >$ — ?

Решение

Рис. 1. Движение

Думаем: вопрос задачи связан с определением средней скорости движения. Движение состоит из нескольких участков, поэтому визуализируем движение (рис. 1). Пусть автомобиль начинает двигаться из точки А, далее в точке B происходит смена скорости, и тело приезжает в точку С. Занесём на рисунок все переменные из дано и найти.

В тексте мы встречаем неявное дано (т.е. слова, указывающие на какие-либо особенности движения). В нашем случае, это слова «первую/вторую половину пути». Это значит, что движение разделено на два участка по равенству расстояния (на нашем рисунке это дано записано как $\displaystyle {}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$ для каждого из участков). Таким образом, мы незаметно ввели $\displaystyle S$ — как параметр, описывающий всё расстояние.

Решаем: исходя из определения средней путевой скорости, её можно найти как отношение всего пути, проделанного телом ( $\displaystyle S$ ), ко всему времени движения ( $\displaystyle t$ ):

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{S}{t}$ (1)

В правой части уравнения всё неизвестно. Искать неизвестные в таком случае лучше используя фразу «ищем то, про что не знаем больше». В нашем случае мы хоть что-то знаем про путь (он делится пополам), значит, начнём со времени. Движение тела в задаче условно разделено на два движения с одинаковой по модулю скоростью в рамках этого движения:

$\displaystyle t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}$ (2)

где, $\displaystyle {{t}_{1}}$ и $\displaystyle {{t}_{2}}$ — время движения на первом и втором участках пути соответственно. В (2) справа неизвестны оба слагаемых, однако из рисунка они непосредственно связаны с дано (каждый со своей скоростью). В дано у нас есть скорость равномерного движения. Свяжем скорость и путь при данном движении и выделим оттуда время:

$\displaystyle \upsilon =\frac{{{S}_{o}}}{t}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle t=\frac{{{S}_{o}}}{\upsilon }$ (3)

Адаптируем (3) к нашим неизвестным в (2) с учётом того, что $\displaystyle {{S}_{o}}=\frac{S}{2}$ :

$\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{{}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{S}{2{{\upsilon }_{1}}}$ (4)

$\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{{}^{S}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{{{\upsilon }_{2}}}=\frac{S}{2{{\upsilon }_{2}}}$ (5)

В целом, в (4) и (5) мы не знаем значение полного пути, однако мы оставили его в (1) без рассмотрения, оставим и здесь. Подставим (4) и (5) в (2) и немного преобразуем:

$\displaystyle t=\frac{S}{2{{\upsilon }_{1}}}+\frac{S}{2{{\upsilon }_{2}}}$ = $\displaystyle \frac{S{{\upsilon }_{2}}}{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}+\frac{S{{\upsilon }_{1}}}{2{{\upsilon }_{2}}{{\upsilon }_{1}}}$ = $\displaystyle \frac{S({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}$ (6)

Получившееся соотношение подставим в (1):

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{S}{\frac{S({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}}$ = $\displaystyle <\upsilon >=\frac{S*2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}{S({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}=\frac{2{{\upsilon }_{1}}{{\upsilon }_{2}}}{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}$ (7)

Единственное неизвестное, что осталось узнать, это $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}$ , но у нас есть ещё одно неиспользованное дано, а именно $\displaystyle n$ . По задаче скорость на втором участке в $\displaystyle n$ раз меньше, чем на первом, тогда:

$\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{n}$ (8)

Тогда (7), с учётом (8):

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{2{{\upsilon }_{1}}\frac{{{\upsilon }_{1}}}{n}}{({{\upsilon }_{1}}+\frac{{{\upsilon }_{1}}}{n})}$ = $\displaystyle \frac{2\upsilon _{1}^{2}n}{n({{\upsilon }_{1}}n+{{\upsilon }_{1}})}$ = $\displaystyle \frac{2\upsilon _{1}^{2}}{{{\upsilon }_{1}}(n+1)}=\frac{2{{\upsilon }_{1}}}{(n+1)}$ (9)

Теперь мы точно знаем всё.

Считаем:

$\displaystyle <\upsilon >=\frac{2*72}{(2+1)}=48$ км/ч

Ответ: $\displaystyle <\upsilon >=48$ км/ч

Ещё задачи по теме «Средняя скорость»

Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со скоростью, модуль которой, а вторую половину — со скоростью в n раз меньшей

Добавить комментарий Отменить ответ

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ