Задача с решением. Два пешехода движутся навстречу друг другу

Задача. Два пешехода движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, модули которых $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=4,0$ км/ч. Каким будет расстояние между ними через время $\displaystyle {{t}_{1}}=15$ мин после их встречи? Какой путь к этому времени пройдёт каждый из пешеходов, если в начальный момент времени они находились на расстоянии $\displaystyle L=1,0$ км друг от друга?

Дано:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{2}}=4,0$ км/ч
$\displaystyle {t}=15$ мин

$\displaystyle L=1,0$ км

Найти:
$\displaystyle {{S}_{0}}$ — ?

$\displaystyle {{S}_{1}}$ -?

$\displaystyle {{S}_{2}}$ -?

Решение

Думаем: пешеходы движутся с «постоянными скоростями», что говорит о равномерном движении. В задаче движутся два тела, так что лучше это нарисовать. Теоретически эту задачу можно разделить на два этапа. Первый связан с движением пешеходов после их встречи (нам задано время движения после этого). Второй этап — поиск расстояния между телами и точкой встречи в данный момент (рис. 1).

Рис. 1. Движение тел

Пусть первый и второй пешеход движутся из точек 1 и 2 навстречу друг другу, встречаются в точке А и продолжают путь до точек С и В в течение $\displaystyle {t}=15$ мин соответственно.

Решаем: пользуемся тем, что движение равномерное:

$\displaystyle \upsilon =\frac{S}{t}\Rightarrow S=\upsilon t$ (1)

Исходя из условий задачи, тела движутся из точки А с точки B и C соответственно, тогда расстояние между телами есть сумма путей, проделанных телами (используя (1)):

$\displaystyle {{S}_{0}}={{\upsilon }_{1}}t+{{\upsilon }_{2}}t=({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})t$ (2)

В правой части уравнения всё известно.

Перейдём ко второму этапу задачи. Движение всё ещё равномерное, поэтому:

$\displaystyle {{S}_{1}}={{\upsilon }_{1}}{{t}_{0}}$ (3)

$\displaystyle {{S}_{2}}={{\upsilon }_{2}}{{t}_{0}}$ (4)

где $\displaystyle {{t}_{0}}$ — время полного движения тел (от 1 и 2 до С и В соответственно).

Кроме того, из рис.1 геометрически видно:

$\displaystyle {{S}_{0}}={{S}_{1}}+{{S}_{2}}-L$ (5)

Из (3) и (4) избавляемся от неизвестного времени:

$\displaystyle {{t}_{0}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{\upsilon }_{1}}}$ (6)

$\displaystyle {{t}_{0}}=\frac{{{S}_{2}}}{{{\upsilon }_{2}}}$ (7)

Сравниваем (6) и (7):

$\displaystyle \frac{{{S}_{1}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{{{S}_{2}}}{{{\upsilon }_{2}}}$ $\displaystyle \Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{2}}\frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}$ (8)

Далее, подставим (8) и (2) в (5):

$\displaystyle ({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})t={{S}_{2}}\frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}+{{S}_{2}}-L$ (9)

В уравнении (9) осталось лишь одно неизвестное, выделим его:

$\displaystyle ({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})t+L={{S}_{2}}\left( \frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}+1 \right)$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {{S}_{2}}=\frac{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})t+L}{\left( \frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}+1 \right)}$ = $\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}(({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})t+L)}{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})}$ = $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}(t+\frac{L}{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})})$ (10)

Для нахождения оставшейся неизвестной подставим (10) в (8):

$\displaystyle {{S}_{1}}={{\upsilon }_{2}}(t+\frac{L}{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})})\frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{2}}}={{\upsilon }_{1}}(t+\frac{L}{({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})})$ (11)

Теперь нам формульно известны все переменные.

Считаем (с учётом того, что $\displaystyle t=15$ мин = $\displaystyle {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;$ ч):

$\displaystyle {{S}_{0}}=(4+4){}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;=2,0$ (км)

$\displaystyle {{S}_{1}}=4({}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;+\frac{1,0}{(4+4)})=1,5$ (км)

$\displaystyle {{S}_{2}}=4({}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;+\frac{1,0}{(4+4)})=1,5$ (км)

Ответ: $\displaystyle {{S}_{0}}=2,0$ (км); $\displaystyle {{S}_{1}}=1,5$ (км); $\displaystyle {{S}_{2}}=1,5$ (км).

Вывод: задачу, в принципе, можно было решить проще. Например, введя сразу общую одинаковую скорость. Но я решил показать общий математический принцип решения таких задач. Так уравнения (3), (4) и (5), которые составлены по физическим законам, можно математически представить как систему из трёх уравнений с тремя неизвестными (такая решается), а далее просто последовательно избавится от тех переменных, которые не нужны в задаче ( $\displaystyle {{t}_{0}}$ ) и найти искомые величины ( $\displaystyle {{S}_{1}}$ и $\displaystyle {{S}_{2}}$ ).

Ещё задачи по теме «Равномерное движение»

Два пешехода движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, модули которых. Каким будет расстояние между ними через время после их встречи?

Добавить комментарий Отменить ответ

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ