Задача. При изобарном увеличении температуры идеального газа его

Задача. При изобарном увеличении температуры идеального газа, находящегося в герметично закрытом цилиндре, на $\displaystyle \Delta T=60,0$ К его объём увеличился в $\displaystyle \beta =1,5$ раза. Определите начальную температуру газа.

Дано:

$\displaystyle \Delta T=60,0$ К $\displaystyle \beta =1,5$ раза

Найти:
$\displaystyle {{T}_{0}}$ — ?

Решение

Думаем: слово «изобарном» — говорит о том, что давление в цилиндре в ходе всей задачи остаётся неизменным. Фраза «газ, находящийся в герметично закрытом цилиндре» говорит о неизменности химического количества вещества ( $\displaystyle \nu =const$ ). Кроме того, мы можем описать объём конечного газа как $\displaystyle \beta V$ . Для решения таких задач я предлагаю метод банок. Основа этого метода — повторяемое использования уравнения Менделеева-Клапейрона для различных состояний идеального газа:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (1)

Решаем: нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (1). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Состояния газа в задаче

Банка 1 — начальное состояние системы. Введём давление газа ( $\displaystyle P$ ), первоначальный объём ( $\displaystyle V$ ), первоначальную температуру ( $\displaystyle T$ ) и неизменное химическое количество газа ( $\displaystyle \nu$ ). Запишем соотношение (1) для этой системы:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (2)

Банка 2 — конечное состояние системы. Давление газа осталось неизменным ( $\displaystyle P$ ), по задаче объём газа увеличился до $\displaystyle \beta V$ , а температура увеличилась на $\displaystyle \Delta T$ (до $\displaystyle T+\Delta T$ ). Химическое количество мы обсудили, оно остаётся неизменным. Запишем соотношение (1) для этой системы:

$\displaystyle P\beta V=\nu R(T+\Delta T)$ (3)

Решаем: основная фишка таких задач — получение набора практически идентичных соотношений. Математически мы можем объединить уравнения (2) и (3) в систему уравнений. Одно из возможных решений системы, где уравнения похожи — это деление одного уравнения на второе. Попробуем так и сделать, поделим (3) на (2):

$\displaystyle \frac{P\beta V}{PV}=\frac{\nu R(T+\Delta T)}{\nu RT}\Rightarrow \beta =\frac{T+\Delta T}{T}$ (4)

В получившемся соотношении (4) нам просто нужно выразить температуру ( $\displaystyle T$ ):

$\displaystyle \beta =\frac{T+\Delta T}{T}\Rightarrow \beta T=T+\Delta T\Rightarrow \beta T-T=\Delta T$ $\displaystyle \Rightarrow T(\beta -1)=\Delta T\Rightarrow T=\frac{\Delta T}{(\beta -1)}$ (5)

Считаем: всё, что нам нужно в (5) уже представлено в единицах СИ, осталось посчитать.

$\displaystyle T=\frac{60,0}{(1,5-1)}=120,0$ К

Ответ: $\displaystyle T=120,0$ К.

Ещё задачи на тему «Идеальный газ. Процессы«.

Поделиться ссылкой: