Пример задачи на уравнение Менделеева-Клапейрона. Идеальный газ

Классические задачи, связанные с уравнением Менделеева-Клапейрона, в общем случае, достаточно просты. Чаще всего в таких задачах мы имеем дело с одним газом в разных состояниях или с двумя разными газами, имеющими пропорциональные или сходные параметры. Для рассмотрения таких задач я предлагаю визуализацию, которую я называю «метод банок».

Итак, сам метод:

для каждого из состояний газа или для каждого газа рисуем условную «банку», внутри которой записываем параметры газа ( $\displaystyle P$ , $\displaystyle V$ , $\displaystyle \nu$ , $\displaystyle T$ ).
для каждой из «банок» записываем уравнение Менделеева-Клапейрона.
решаем получившуюся систему уравнений, последовательно избавляясь от неизвестных.

«Метод банок» не кажется каким-то откровением. Единственное, почему я советую применять его на бумаге (или хотя бы мысленно), — это возможность не потерять уравнения в случае большого количества трансформаций газа или большого количества газов, или смесей газов и не запутаться в обозначениях.

Проиллюстрируем метод на примере конкретной задачи. Пусть дан газ, помещённый в теплоизолированный сосуд с жёсткими стенками, находящийся при температуре $\displaystyle {{T}_{1}}$ . Пусть половину газа изъяли из системы при неизменной температуре и объёме. После газ нагрели так, что давление стало равным изначальному. Найти установившуюся в конце процесса температуру.

Итак, метод:

у нас 3 состояния газа (начальное, выход газа и нагревание) и проиллюстрируем (рис. 1)

Рис. 1 Метод банок

В банке 1 — изначальные параметры газа (давление $\displaystyle {{P}_{1}}$ , объём $\displaystyle {{V}_{1}}$ , химическое количество $\displaystyle {{\nu }_{1}}$ ), введённые нами самостоятельно. При выходе газа химическое количество газа уменьшается в два раза ( $\displaystyle {}^{{{\nu }_{1}}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$ ), а при неизменных других параметрах, давление газа уменьшается ( $\displaystyle {{P}_{2}}$ ) — банка 2. Дальнейшее нагревание (банка 3) приводит к первоначальному давлению ( $\displaystyle {{P}_{1}}$ ) и новой искомой температуре ( $\displaystyle {{T}_{3}}$ ). В данном случае, мы воспользовались фразами: теплоизолированный означает, что температура газа остаётся постоянной в каждом состоянии, а жёсткие стенки говорят о неизменности объёма.

Для каждого из состояний запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (1)

где
- $\displaystyle P$ — текущее давление газа,
- $\displaystyle V$ — текущий объём газа,
- $\displaystyle \nu$ — текущее химическое количество газа,
- $\displaystyle T$ — текущая температура газа,
- $\displaystyle R\approx 8,31$ м $\displaystyle ^{2}$ *кг*с $\displaystyle ^{-2}$ *К $\displaystyle ^{-1}$ *Моль $\displaystyle ^{-1}$ — газовая постоянная.

Тогда:

для банки 1:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{1}}={{\nu }_{1}}R{{T}_{1}}$ (2)

для банки 2:

$\displaystyle {{P}_{2}}{{V}_{1}}=\frac{{{\nu }_{1}}}{2}R{{T}_{1}}$ (3)

для банки 3:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{1}}=\frac{{{\nu }_{1}}}{2}R{{T}_{3}}$ (4)

Таким образом, мы описали каждое разное состояние газа. Вернёмся к вопросу: нам необходима конечная температура $\displaystyle {{T}_{3}}$ . Для этого поделим (4) на (2):

$\displaystyle \frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}=\frac{{}^{{{\nu }_{1}}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{{{\nu }_{1}}}\frac{R{{T}_{3}}}{R{{T}_{1}}}\Rightarrow 1=\frac{1}{2}\frac{{{T}_{3}}}{{{T}_{1}}}\Rightarrow {{T}_{3}}=2{{T}_{1}}$ (5)

Таким образом, мы нашли искомую температуру. Очевидно, что уравнение (3) нам не понадобилось, но если задаться вопросом о давлении во втором сосуде, то это уравнение будет весьма кстати.

Не лишним в таких задачах помнить о возможности поиска химического количества вещества:

$\displaystyle \frac{m}{M}=\nu =\frac{N}{{{N}_{A}}}$ (6)

где
- $\displaystyle \nu$ — химическое количество газа,
- $\displaystyle m$ — масса газа,
- $\displaystyle M$ — молярная масса газа,
- $\displaystyle N$ — количество молекул газа,
- $\displaystyle {{N}_{A}}\approx 6,02*{{10}^{23}}$ — постоянная Авогадро.

Соотношение (6) хоть и выглядит странно, но позволяет работать как с массой всего газа (левая часть), так и с составом газа (правая часть).

Вывод: метод логичен и понятен, его ход, в любом случае, используется вами при решении. Однако, если научится автоматически применять эту логику, достаточно будет просто читать задачу, рисовать и выписывать систему уравнений. Дальше — чистая математика.

Пример работы с уравнением Менделеева-Клапейрона

Добавить комментарий Отменить ответ

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ