Задача. Идеальный газ, давление объём. Сначала газ изотермически

Задача. Идеальный газ, давление которого $\displaystyle {{P}_{1}}=5,0\cdot {{10}^{5}}$ Па, занимал объём $\displaystyle {{V}_{1}}=3,0$ л. Сначала газ изотермически расширили до объёма $\displaystyle {{V}_{2}}=9,0$ л, а затем изохорно нагрели, в результате чего его температура увеличилась в два раза. Определите давление газа в конце процесса, если при переходе из начального состояния в конечное масса газа оставалась постоянной.

Дано:

$\displaystyle {{P}_{1}}=5,0\cdot {{10}^{5}}$ Па
$\displaystyle {{V}_{1}}=9,0$ л
$\displaystyle {{V}_{2}}=7,0$ л

Найти:
$\displaystyle {{P}_{3}}$ — ?

Решение

Думаем: слово «изотермически» говорит о неизменной температуре при переходе из первого состояния во второе, а слово «изохорически» описывает равенство объёмов при переходе из состояния 2 в 3. Кроме того, т.к. масса газа оставалась постоянной, то и химическое количество газа не изменилось. Для решения таких задач я предлагаю метод банок. Основа этого метода — повторяемое использования уравнения Менделеева-Клапейрона для различных состояний идеального газа:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (1)

Решаем: нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (1). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Состояние газа в системах

Банка 1 — начальное состояние системы. Газ находится при начальном давлении ( $\displaystyle {{P}_{1}}$ ) и начальном объёме ( $\displaystyle {{V}_{1}}$ ). При этом мы ввели начальную температуру ( $\displaystyle {{T}_{1}}$ ) и химическое количество ( $\displaystyle \nu$ ), которое в описанных в задаче процессах не изменяется. Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}_{1}}$ (2)

Банка 2 — следующее состояние системы. Сказано, что объём газа при этом $\displaystyle {{V}_{2}}$ , новое давление — $\displaystyle {{P}_{2}}$ , изотермическое расширение даёт нам неизменную температуру $\displaystyle {{T}_{1}}$ и изначальное химическое количество ( $\displaystyle \nu$ ). Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}_{2}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{1}}$ (3)

Банка 3 — конечное состояние системы. Изохорический процесс говорит о том, что объём газа — $\displaystyle {{V}_{2}}$ , новое давление — $\displaystyle {{P}_{3}}$ , по дано температура газа увеличилась в 2 раза, по-этому текущая температура — $\displaystyle 2{{T}_{1}}$ и всё то же изначальное химическое количество вещества ( $\displaystyle \nu$ ). Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}_{3}}{{V}_{2}}=\nu R2{{T}_{1}}$ (4)

Необходимый нам параметр давления ( $\displaystyle {{P}_{3}}$ ) встречается в уравнении (4), кроме него, неизвестными в этом соотношении являются параметры $\displaystyle \nu$ и $\displaystyle {{T}_{1}}$ . Их можно найти и в соотношении (2) и в соотношении (3). Но последний известный из дано параметр ( $\displaystyle {{P}_{1}}$ ) подсказывает нам уравнение для решения — это уравнение (2). Тогда поделим (4) на (2) для избавления от неизвестных и сократим:

$\displaystyle \frac{{{P}_{3}}{{V}_{2}}}{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}=\frac{\nu R2{{T}_{1}}}{\nu R{{T}_{1}}}\Rightarrow \frac{{{P}_{3}}{{V}_{2}}}{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}=2$ (5)

Выразим из (5) интересующее нас давление:

$\displaystyle {{P}_{3}}=2{{P}_{1}}\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ (6)

Считаем: хотя объём и не выражен в единицах СИ, но в результате деления $\displaystyle \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ в любом случае даст безразмерную величину. Тогда:

$\displaystyle {{P}_{3}}=2*5,0*{{10}^{5}}*\frac{3,0}{9,0}=0,33*{{10}^{6}}$ Па

Ответ: $\displaystyle {{P}_{3}}=0,33*{{10}^{6}}$ Па.

Ещё задачи на тему «Идеальный газ. Процессы«.

Поделиться ссылкой: