Задача Электростатическое поле создано находящимися

Задача. Электростатическое поле создано находящимися на расстоянии $\displaystyle r=60$ см друг от друга двумя разноимёнными зарядами, модули которых $\displaystyle \left| {{q}_{1}} \right|=\left| {{q}_{2}} \right|=3,8$ нКл. Определите модуль напряжённости и потенциал в средней точке отрезка, соединяющего эти заряды.

Дано:

$\displaystyle r=60$ см
$\displaystyle \left| {{q}_{1}} \right|=\left| {{q}_{2}} \right|=3,8$ нКл

Найти:
$\displaystyle {{\varphi }_{0}}$ — ?
$\displaystyle {{E}_{0}}$ — 7

Решение

Думаем: источником электростатического поля в задаче являются точечные заряды, тогда:

для модуля напряжённости точечного заряда:

$\displaystyle E=k\frac{q}{{{r}^{2}}}$ (1)

для потенциала точечного заряда:

$\displaystyle \varphi =k\frac{q}{r}$ (2)

Т.к. зарядов несколько,, то для поиска общих параметров системы будем использовать принцип суперпозиции:

для вектора напряжённости (вектор полной напряжённости равен векторной сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов):

$\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{E}}}_{i}}}$ (3)

для потенциала (полный потенциал, создаваемый в точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в этой точке):

$\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\sum\limits_{i}{\varphi {}_{i}}$ (4)

Решаем: для (1) и (2) нам необходимо визуализировать систему (рис. 1).

Рис. 1. Система зарядов в задаче

Расставим напряжённости, создаваемые в исходной точке от двух зарядов-источников (рис. 2). Помним, что от положительного заряда линии напряжённости «уходят», к отрицательному «приходят». Для определённости будем считать, что $\displaystyle {{q}_{1}}>0$ , а $\displaystyle {{q}_{2}}<0$ .

Рис. 2. Напряжённость, создаваемая зарядами

Тогда, исходя из (3):

$\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}}$ (5)

В проекции на ось ОХ:

$\displaystyle {{E}_{0}}={{E}_{1}}+{{E}_{2}}$ (6)

Значение напряжённости от каждого из зарядов можно найти исходя из (1):

$\displaystyle {{E}_{1}}=k\frac{\left| {{q}_{1}} \right|}{{}^{r}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}=k\frac{2\left| {{q}_{1}} \right|}{r}$ (7)

$\displaystyle {{E}_{2}}=k\frac{\left| {{q}_{2}} \right|}{{}^{r}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}=k\frac{2\left| {{q}_{2}} \right|}{r}$ (8)

Подставим в (6):

$\displaystyle {{E}_{0}}=k\frac{2\left| {{q}_{1}} \right|}{r}+k\frac{2\left| {{q}_{2}} \right|}{r}=\frac{2k}{r}(\left| {{q}_{1}} \right|+\left| {{q}_{2}} \right|)$ (9)

Для потенциала всё ещё проще. Воспользуемся (4):

$\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\left| {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right|$ (10)

Значение потенциала, создаваемого каждым зарядом найдём из (2):

$\displaystyle {{\varphi }_{1}}=k\frac{{{q}_{1}}}{{}^{r}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}=k\frac{2{{q}_{1}}}{r}$ (11)

$\displaystyle {{\varphi }_{2}}=k\frac{{{q}_{2}}}{{}^{r}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}=k\frac{2{{q}_{2}}}{r}$ (12)

Подставим (11) и (12) в (10):

$\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\left| k\frac{2{{q}_{1}}}{r}+k\frac{2{{q}_{2}}}{r} \right|=\frac{2k}{r}\left| {{q}_{1}}+{{q}_{2}} \right|$ (13)

Для потенциала главное использовать заряд со своим знаком.

Считаем: вспоминаем константы $\displaystyle k\approx 9*{{10}^{9}}$ Н*м $\displaystyle ^{2}$ /Кл $\displaystyle ^{2}$ , И не забываем перевести все параметры (расстояния) в единицы СИ.

$\displaystyle {{E}_{0}}=\frac{2*9*{{10}^{9}}}{{{(0,60)}^{2}}}(3,8*{{10}^{-9}}+3,8*{{10}^{-9}})=3,8*{{10}^{-7}}$ Н/м

$\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\frac{2*9*{{10}^{9}}}{0,60}\left| 3,8*{{10}^{-9}}-3,8*{{10}^{-9}} \right|=0$ В

Ответ: $\displaystyle {{E}_{0}}=2,3*{{10}^{-7}}$ Н/м; $\displaystyle {{\varphi }_{0}}=0$ В.

Ещё задачи на тему «Потенциал электростатического поля»

Поделиться ссылкой: