Задача Два противоположных по знаку точечных заряда, модули

Задача. Два противоположных по знаку точечных заряда, модули которых равны, находятся в воздухе. В точке на прямой, соединяющей заряды, отстоящей на расстояния $\displaystyle {{r}_{1}}=40,0$ мм и $\displaystyle {{r}_{2}}=20,0$ мм от зарядов, потенциал электростатического поля $\displaystyle \varphi =105,0$ мВ. Определите модуль напряжённости поля в этой точке.

Дано:

$\displaystyle {{r}_{1}}=40,0$ мм
$\displaystyle {{r}_{2}}=20,0$ мм
$\displaystyle \varphi =105,0$ мВ

Найти:
$\displaystyle E$ — ?

Решение

Думаем: источником электростатического поля в задаче являются точечные заряды, тогда:

для модуля напряжённости точечного заряда:

$\displaystyle E=k\frac{q}{{{r}^{2}}}$ (1)

для потенциала точечного заряда:

$\displaystyle \varphi =k\frac{q}{r}$ (2)

Т.к. зарядов несколько,, то для поиска общих параметров системы будем использовать принцип суперпозиции:

для вектора напряжённости (вектор полной напряжённости равен векторной сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов):

$\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{E}}}_{i}}}$ (3)

для потенциала (полный потенциал, создаваемый в точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в этой точке):

$\displaystyle {{\varphi }_{0}}=\sum\limits_{i}{\varphi {}_{i}}$ (4)

Решаем: для (1) и (2) нам необходимо визуализировать систему (рис. 1).

Рис. 1. Система зарядов

Для поиска полной напряжённости, создаваемой системой зарядов нам нужно визуализировать напряжённости, создаваемые каждым из зарядов, воспользоваться (3) и спроецировать результат на выбранную ось (рис. 2). Помним, что от положительного заряда линии напряжённости «уходят», к отрицательному «приходят».

Рис. 2. Напряжённости от каждого из зарядов

где $\displaystyle {{E}_{+}};\,{{E}_{-}}$ — напряжённости, создаваемые положительным и отрицательным зарядами соответственно. Спроецируем вектора на выбранную ось OX:

$\displaystyle E={{E}_{+}}+\,{{E}_{-}}$ (5)

Недостающие напряжённости можно найти исходя из (1):

$\displaystyle {{E}_{-}}=k\frac{\left| -q \right|}{r_{1}^{2}}=k\frac{q}{r_{1}^{2}}$ (6)

$\displaystyle {{E}_{+}}=k\frac{\left| q \right|}{r_{2}^{2}}=k\frac{q}{r_{2}^{2}}$ (7)

Подставим (6) и (7) в (5):

$\displaystyle E=k\frac{q}{r_{2}^{2}}+k\frac{q}{r_{1}^{2}}=kq(\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}})$ (8)

Неизвестные значения зарядов можно получить исходя из последнего неиспользованного дано — общего потенциала ( $\displaystyle \varphi$ ). Для поиск общего потенциала в точке воспользуемся (4):

$\displaystyle \varphi ={{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}$ (9)

где $\displaystyle {{\varphi }_{1}}$ и $\displaystyle {{\varphi }_{2}}$ — потенциалы, создаваемые обоими зарядами в искомой точке. Найдём значение этих потенциалов исходя из (2):

$\displaystyle {{\varphi }_{1}}=k\frac{-q}{{{r}_{1}}}$ (10)

$\displaystyle {{\varphi }_{2}}=k\frac{q}{{{r}_{2}}}$ (11)

Подставим (10) И (11) в (9):

$\displaystyle \varphi =-k\frac{q}{{{r}_{1}}}+k\frac{q}{{{r}_{2}}}=kq(\frac{1}{{{r}_{2}}}-\frac{1}{{{r}_{1}}})$ (12)

Выразим недостающее из (12):

$\displaystyle \varphi =kq(\frac{1}{{{r}_{2}}}-\frac{1}{{{r}_{1}}})\Rightarrow \varphi =kq\frac{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}{{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$ $\displaystyle \Rightarrow \varphi =kq\frac{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}{{{r}_{2}}{{r}_{1}}}\Rightarrow kq=\frac{\varphi {{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}$ (13)

Подставим (13) в (8):

$\displaystyle E=\frac{\varphi {{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}(\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}})=\varphi \frac{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{r_{2}^{2}r_{1}^{2}})$ $\displaystyle \Rightarrow E=\varphi \frac{1}{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{{{r}_{1}}{{r}_{2}}})=\varphi \frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{({{r}_{1}}-{{r}_{2}}){{r}_{1}}{{r}_{2}}}$ (14)

Считаем: не забываем перевести всё параметры в единицы СИ.

$\displaystyle E=105,0*{{10}^{-3}}*\frac{{{0,02}^{2}}+{{0,04}^{2}}}{(0,04-0,02)*0,04*0,02}=13,1$ Н/м.

Ответ: $\displaystyle E=13,1$ Н/м.

Ещё задачи на тему «Потенциал электростатического поля»

Поделиться ссылкой: