Задача. При изобарном расширении гелия массой его объём

Задача. При изобарном расширении гелия массой $\displaystyle m=30$ г его объём увеличился в три раза. Определите работу, совершённую силой давления при расширении газа, и количество теплоты, сообщённое газу, если его начальная температура $\displaystyle {{T}_{1}}=290$ К.

Дано:

$\displaystyle m=30$ г
$\displaystyle {{T}_{1}}=290$ К

Найти:
$\displaystyle A$ — ?
$\displaystyle Q$ -?

Решение

Думаем: в задаче необходимо найти работу газа при изобарическом расширении, это можно сделать по определению.

$\displaystyle A=P\Delta V$ (1)

вопрос о количестве теплоты, сообщенной газу намекает нам на использование первого начала термодинамики:

$\displaystyle Q=A+\Delta U$ (2)

Параметр изменения внутренней энергии ( $\displaystyle \Delta U$ ) опять же можно найти исходя из его определения:

$\displaystyle \Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$ (3)

Работа с изменением температуры в (3) или с изменением объёма в (1) классически касается работы с уравнением Менделеева-Клапейрона:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (4)

Решаем: основные вопросы задачи решаются исходя из (1) и (3). И в первом и во втором случае мы получаем вопрос об изменении объёма и температуры. Попробуем сперва получить эти параметры. Для этого воспользуемся (4) при описании начального и конечного состояния газа:

для начального состояния газа:

$\displaystyle PV=\nu R{{T}_{1}}$ (5)

для конечного состояния газа:

$\displaystyle P3V=\nu R{{T}_{2}}$ (6)

Мы ввели температуру конечного состояния газа ( $\displaystyle {{T}_{2}}$ ) и адаптировали уравнение под фразу из дано «объём увеличился в три раза» и не изменили давление вследствие фразы «при изобарном расширении». Кроме того, нам понадобится в (5) и (6) определение химического количества вещества:

$\displaystyle \nu =\frac{m}{M}$ (7)

где введённый нами параметр $\displaystyle M$ — молярная масса вещества, в нашем случае молярная масса гелия (величина табличная и известная).

Для поиска изменения температуры поделим (6) на (5) и выразим конечную температуру газа:

$\displaystyle \frac{P3V}{PV}=\frac{\nu R{{T}_{2}}}{\nu R{{T}_{1}}}\Rightarrow 3=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\Rightarrow {{T}_{2}}=3{{T}_{1}}$ (8)

Тогда:

$\displaystyle \Delta T={{T}_{2}}-{{T}_{1}}=3{{T}_{1}}-{{T}_{1}}=2{{T}_{1}}$ (9)

Изменение объёма газа можно обсудить исходя из определения изменения объёма и знания об увеличении объёма конечного состояния в 3 раза:

$\displaystyle \Delta V=3V-V=2V$ (10)

Наконец перейдём к поиску работы, для этого воспользуемся (1) при условии (10):

$\displaystyle A=P2V=2PV$ (11)

Подставим в (11) соотношение (5) при условии (7):

$\displaystyle A=2\nu R{{T}_{1}}=2\frac{m}{M}R{{T}_{1}}$ (12)

Адаптируем под наше дано соотношение (3) при условии (7) и (9):

$\displaystyle \Delta U=\frac{3}{2}\frac{m}{M}R2{{T}_{1}}$ (13)

Тогда ответ на последний вопрос задачи (о теплоте) состоит в подстановке (12) и (13) в (2):

$\displaystyle Q=2\frac{m}{M}R{{T}_{1}}+\frac{3}{2}\frac{m}{M}R2{{T}_{1}}=5\frac{m}{M}R{{T}_{1}}$ (14)

Считаем: определим константы ( $\displaystyle M=4$ г/моль, $\displaystyle R\approx 8,31$ м $\displaystyle ^{2}$ *кг*с $\displaystyle ^{-2}$ *К $\displaystyle ^{-1}$ *Моль $\displaystyle ^{-1}$ ). Молярную массу и массу гелия можем не переводить в единицы СИ, т.к. отношение $\displaystyle \frac{m}{M}$ при любых одинаковых размерностях будет давать размерность [моль].