Задача. Вертолёт летит из Минска на юг. Модуль скорости движения

Задача. Вертолёт летит из Минска на юг. Модуль скорости движения вертолёта относительно воздуха $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=72$ км/ч. В направлении с севера на юг дует ветер, модуль скорости которого $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=15$ м/с. Найдите модуль скорости вертолёта относительно Земли и его перемещение за время $\displaystyle t=40$ мин полёта.

Дано:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=72$ км/ч
$\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=15$ м/с
$\displaystyle t=40$ мин

Найти:
$\displaystyle \upsilon$ — ?
$\displaystyle \Delta r$ — ?

Решение

Думаем: выражение «найдите модуль скорости вертолёта относительно Земли» говорит о том, что задача связана с относительным движением. Скорости тел (вертолёт, воздух) в задаче не меняются, таким образом мы имеем дело с равномерным движением.

Решаем: исходя из закона сложения скоростей Галилея:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{u}$ (1)

где
- $\displaystyle \vec{\upsilon }$ — скорость тела относительно неподвижной системы координат
- $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}$ — скорость тела, относительно подвижной системы координат
- $\displaystyle \vec{u}$ — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной.

Определим для нашей конкретной задачи каждую из этих скоростей. Тело в нашей задаче — вертолёт, подвижная система — воздух (ветер), неподвижная система — земля. Анализируя данные, получим $\displaystyle \vec{\upsilon }=\vec{\upsilon }$ — скорость вертолёта относительно земли (то, что нам нужно найти), $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}={{\vec{\upsilon }}_{1}}$ — скорость вертолёта относительно воздуха и $\displaystyle \vec{u}={{\vec{\upsilon }}_{2}}$ — скорость воздуха (ветра) относительно земли. Введя подобные переобозначения, адаптируем (1) под условия нашей задачи:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{\vec{\upsilon }}_{2}}$ (2)

Пока это соотношение векторное и описывает скорости вне зависимости от обозначения. Для поиска модуля вектора его необходимо увидеть. Нарисуем (рис. 1).

Рис. 1. Проекции векторов

Исходя из рисунка мы можем спроецировать вектора на выбранную ось, т.к. все вектора положительны, получим:

$\displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}$ (3)

С другой стороны, данный ответ может быть получен чисто аналитически: вертолёт «как бы подгоняется» ветром, дующим в сторону движения вертолёта, т.е. скорости складываются.

Перейдём к вопросу о перемещении. Т.к. движение тела прямолинейное, то путь и перемещение — одинаковые параметры. Равномерность движения позволяет нам использовать всего лишь одну формулу:

$\displaystyle \Delta r=\upsilon t$ (4)

Или для нашей задачи (4) с использованием (3):

$\displaystyle \Delta r=({{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}})t$ (5)

Считаем: данные в нашей задачи имеют различную размерность, переведём их в систему СИ:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=72$ км/ч $\displaystyle =\frac{72*1000}{3600}$ м/с = $\displaystyle 20$ м/с.
$\displaystyle t=30$ мин $\displaystyle =40*60$ $\displaystyle =2400$ с.