Задача. Плот шириной м плывёт по реке со скоростью, модуль

Задача. Плот шириной $\displaystyle l=6,0$ м плывёт по реке со скоростью, модуль которой $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=5,0$ м/с. Находящийся на плоту сплавщик перешёл с одного края плота на другой и вернулся обратно. Чему равны модули перемещения сплавщика за это время относительно плота и относительно берега, если скорость движения сплавщика относительно плота $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{2}}$ направлена перпендикулярно скорости течения воды, а её модуль $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,0$ м/с? Найдите также модуль скорости движения сплавщика относительно берега.

Дано:

$\displaystyle l=6,0$ м
$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=5,0$ м/с
$\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=1,0$ м/с

Найти:
$\displaystyle \Delta {{r}_{p}}$ — ?
$\displaystyle \Delta {{r}_{z}}$ — ?
$\displaystyle \upsilon$ — ?

Решение

Думаем: выражение «модули перемещения сплавщика за это время относительно плота и относительно берега» говорит о том, что задача связана с относительным движением. Скорости тел (река, вода) в задаче не меняются, таким образом мы имеем дело с равномерным движением.

Решаем: исходя из закона сложения скоростей Галилея:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{u}$ (1)

где
- $\displaystyle \vec{\upsilon }$ — скорость тела относительно неподвижной системы координат
- $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}$ — скорость тела, относительно подвижной системы координат
- $\displaystyle \vec{u}$ — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной.

Определим для нашей конкретной задачи каждую из этих скоростей. Плот движется со скоростью воды. Тело в нашей задаче — человек, подвижная система — плот (вода), неподвижная система — земля. Анализируя данные, получим $\displaystyle \vec{\upsilon }=\vec{\upsilon }$ — скорость сплавщика относительно земли, $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}={{\vec{\upsilon }}_{2}}$ — скорость человека относительно плота (воды) и $\displaystyle \vec{u}={{\vec{\upsilon }}_{1}}$ — скорость воды (плота) относительно земли. Введя подобные переобозначения, адаптируем (1) под условия нашей задачи:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{2}}+{{\vec{\upsilon }}_{1}}$ (2)

Пока это соотношение векторное и описывает скорости вне зависимости от обозначения. Для поиска модуля вектора его необходимо увидеть. Нарисуем плот, вид сверху (рис. 1).

Рис. 1. Скорости сплавщика и плота

Пусть сплавщик изначально находился в точке А. Далее он начал двигаться вдоль ширины плота (красный вектор), при этом плот начал двигаться вперёд (синий вектор). Дойдя до точки В сплавщик развернулся и прибыл в точку С. Плот при этом продолжал движение. Вектор скорости человека относительно берега (зелёный) найден нами из уравнения (1), модуль этого вектора можно найти теоремой Пифагора (т.к. вектора $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{1}}$ и $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{2}}$ перпендикулярны друг другу по задаче). Тогда:

$\displaystyle \upsilon =\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}$ (3)

Тело движется прямолинейно и равномерно, тогда перемещение человека относительно земли можно найти:

$\displaystyle \Delta {{r}_{z}}=2\upsilon t=2\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}t$ (4)

где $\displaystyle t$ — общее время движения как человека, так и плота. Удвоение происходит из-за суммарного движения в обе стороны, а вектора АВ и АС одинаковы. Время движения найдём через поступательное равномерное движение человека относительно плота (т.к. рассматриваемое в задаче движение системы начинается с началом движения человека из точки А, а заканчивается с его прибытием в точку В):

$\displaystyle t=\frac{h}{{{\upsilon }_{2}}}$ (5)

Тогда:

$\displaystyle \Delta {{r}_{z}}=2\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}\frac{h}{{{\upsilon }_{2}}}=2\frac{\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}}{{{\upsilon }_{2}}}h$ (6)