Самолёт, имеющий скорость терпит бедствие на высоте

Задача. Самолёт, имеющий скорость \displaystyle \upsilon =360 км/ч терпит бедствие на высоте \displaystyle H=10 км. Найдите время падения самолета и его скорость в момент удара о землю.

Дано:

\displaystyle \upsilon =360 км/ч
\displaystyle H=10 км

Найти:
\displaystyle {{\upsilon }_{k}} — ?
\displaystyle t — ?

Решение

Думаем: в момент начала крушения самолёт летел горизонтально со скоростью \displaystyle \upsilon . В момент отказа двигателей самолёт начал падать (ускоренно двигаться вниз без начальной скорости). Движение тела в итоге — движение по параболе (сложное движение). Тогда движение вдоль горизонтальной оси — равномерное, вдоль вертикальной — равноускоренное.

Визуализируем это движение (рис. 1).

Рис. 1. Движение тела

Рис. 1. Движение тела

Время движения свяжем с временем равноускоренного движения тела вдоль оси OY:

\displaystyle H={{\upsilon }_{0}}t+\frac{a{{t}^{2}}}{2} (1)

Скорость тела в сложном движении может быть найдена только исходя из теоремы Пифагора:

\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}} (2)

А скорости движения вдоль осей найдём из описания движения:

  • равномерное (\displaystyle {{\upsilon }_{x}}=\upsilon )
  • равноускоренное (\displaystyle {{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}+gt)

Решаем: тело начинает двигаться вниз без начальной скорости (\displaystyle {{\upsilon }_{0}}=0) и с ускорением свободного падения (\displaystyle a=g). Исходя из (1):

\displaystyle H=\frac{g{{t}^{2}}}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2H}{g}} (3)

Исходя из (2) попробуем найти конечную скорость тела с учётом типа движения:

\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+{{\left( gt \right)}^{2}}} (4)

С учётом (3):

\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+{{\left( gt \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+{{\left( g\sqrt{\frac{2H}{g}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+2gH} (5)

Считаем: переведём в единицы СИ. \displaystyle \upsilon =360 км/ч \displaystyle =100 м/с, \displaystyle H={{10}^{4}} м, \displaystyle g=10 м/с\displaystyle ^{2}. Тогда:

\displaystyle t=\sqrt{\frac{2*{{10}^{4}}}{10}}\approx 45 с

\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{{{100}^{2}}+2*10*{{10}^{4}}}\approx 100\sqrt{{{1}^{2}}+20}\approx 458 м/с

Ответ\displaystyle t\approx 45 с, \displaystyle {{\upsilon }_{k}}\approx 458 м/с.

Ещё задачи на тему «Движение тела брошенного под углом к горизонту»