Задача. Самолёт, имеющий скорость км/ч терпит бедствие на высоте

Задача. Самолёт, имеющий скорость $\displaystyle \upsilon =360$ км/ч терпит бедствие на высоте $\displaystyle H=10$ км. Найдите время падения самолета и его скорость в момент удара о землю.

Дано:

$\displaystyle \upsilon =360$ км/ч
$\displaystyle H=10$ км

Найти:
$\displaystyle {{\upsilon }_{k}}$ — ?
$\displaystyle t$ — ?

Решение

Думаем: в момент начала крушения самолёт летел горизонтально со скоростью $\displaystyle \upsilon$ . В момент отказа двигателей самолёт начал падать (ускоренно двигаться вниз без начальной скорости). Движение тела в итоге — движение по параболе (сложное движение). Тогда движение вдоль горизонтальной оси — равномерное, вдоль вертикальной — равноускоренное.

Визуализируем это движение (рис. 1).

Рис. 1. Движение тела

Время движения свяжем с временем равноускоренного движения тела вдоль оси OY:

$\displaystyle H={{\upsilon }_{0}}t+\frac{a{{t}^{2}}}{2}$ (1)

Скорость тела в сложном движении может быть найдена только исходя из теоремы Пифагора:

$\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}$ (2)

А скорости движения вдоль осей найдём из описания движения:

равномерное ( $\displaystyle {{\upsilon }_{x}}=\upsilon$ )
равноускоренное ( $\displaystyle {{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}+gt$ )

Решаем: тело начинает двигаться вниз без начальной скорости ( $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}=0$ ) и с ускорением свободного падения ( $\displaystyle a=g$ ). Исходя из (1):

$\displaystyle H=\frac{g{{t}^{2}}}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$ (3)

Исходя из (2) попробуем найти конечную скорость тела с учётом типа движения:

$\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+{{\left( gt \right)}^{2}}}$ (4)

С учётом (3):

$\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+{{\left( gt \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+{{\left( g\sqrt{\frac{2H}{g}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\upsilon }^{2}}+2gH}$ (5)

Считаем: переведём в единицы СИ. $\displaystyle \upsilon =360$ км/ч $\displaystyle =100$ м/с, $\displaystyle H={{10}^{4}}$ м, $\displaystyle g=10$ м/с $\displaystyle ^{2}$ . Тогда:

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2*{{10}^{4}}}{10}}\approx 45$ с

$\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{{{100}^{2}}+2*10*{{10}^{4}}}\approx 100\sqrt{{{1}^{2}}+20}\approx 458$ м/с

Ответ: $\displaystyle t\approx 45$ с, $\displaystyle {{\upsilon }_{k}}\approx 458$ м/с.

Ещё задачи на тему «Движение тела брошенного под углом к горизонту»

Поделиться ссылкой: