Задача. Подъёмный кран поднимает груз из состояния покоя. Как

Задача. Подъёмный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением, модуль которого $\displaystyle a=0,4$ м/с $\displaystyle ^{2}$ . Как относятся пути, проходимые грузом за 1, 2, 3 и 4-ю секунды движения?

Дано:

$\displaystyle a=0,4$ м/с $\displaystyle ^{2}$

Найти: $\displaystyle {{S}_{1}}:{{S}_{2}}:{{S}_{3}}:{{S}_{4}}$ — ?

Решение

Думаем: по фразе «с постоянным ускорением» можно заключить, что мы имеем дело с равноускоренным движением. Это говорит о том, что мы можем использовать набор из трёх формул. Фактически наша задача — выбрать формулу. Фраза «из состояния покоя» говорит о нулевой начальной скорости ( $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}=0$ м/с).

Решаем: необходимость найти путь, знание о начальной скорости и ускорении, а также намёки на время подталкивают нас к уравнению для равноускоренного движения:

$\displaystyle S={{\upsilon }_{0}}t+\frac{a{{t}^{2}}}{2}$ (1)

Адаптируем это соотношение под наше дано. У нас начальная скорость равна нулю и введём лишнее дано ( $\displaystyle {{t}_{1}}=1$ с) тогда:

$\displaystyle {{S}_{1}}=\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}$ (2)

Однако в данной задаче есть небольшая загвоздка: нам нужно найти путь, которое преодолело тело за одну секунду, но конкретную по счёту (вторую, третью и т.д.). Попробуем визуализировать то, что нам нужно, занося на рисунок все доступные параметры (рис. 1).

Рис. 1. Элементы пути для задачи.

Введённые параметры $\displaystyle {{\upsilon }_{01}}$ , $\displaystyle {{\upsilon }_{02}}$ , $\displaystyle {{\upsilon }_{03}}$ — конечные скорости, которые приобрело тело в течение 1ой, 2ой, 3ей секунды после начало движения. Но конечная скорость на одном участке логично является начальной скоростью для последующего. Тогда:

$\displaystyle {{\upsilon }_{01}}$ — конечная скорость тела по прошествии первой секунды,
$\displaystyle {{\upsilon }_{02}}$ — конечная скорость тела по прошествии двух первых секунд,
$\displaystyle {{\upsilon }_{03}}$ — конечная скорость тела по прошествии трёх первых секунд.

Исходя из этого, путь для каждого из отрезков времени можно найти через соотношение (1):

$\displaystyle {{S}_{2}}={{\upsilon }_{01}}{{t}_{1}}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}$ (3)

$\displaystyle {{S}_{3}}={{\upsilon }_{02}}{{t}_{1}}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}$ (4)

$\displaystyle {{S}_{4}}={{\upsilon }_{03}}{{t}_{1}}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}$ (5)

Скорости можно найти через второе соотношение для равноускоренного движения:

$\displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{0}}+at$ (6)

Адаптируя его для нашей задачи и учитывая, что время 2 секунды можно записать как 2 $\displaystyle {{t}_{1}}$ (чтобы не вводить лишних переменных), можно получить:

$\displaystyle {{\upsilon }_{01}}=a{{t}_{1}}$ (7)

$\displaystyle {{\upsilon }_{02}}=a*2{{t}_{1}}$ (8)

$\displaystyle {{\upsilon }_{03}}=a*3{{t}_{1}}$ (9)

Опять мы воспользовались знанием о том, что начальная скорость равна 0. Подставим (7) в (3), (8) в (4), (9) в (5) и сократим:

$\displaystyle {{S}_{2}}=a{{t}_{1}}{{t}_{1}}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}=a{{t}_{1}}^{2}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}=\frac{3a{{t}_{1}}^{2}}{2}$ (10)

$\displaystyle {{S}_{3}}=2a{{t}_{1}}{{t}_{1}}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}=2a{{t}_{1}}^{2}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}=\frac{5a{{t}_{1}}^{2}}{2}$ (11)

$\displaystyle {{S}_{3}}=3a{{t}_{1}}{{t}_{1}}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}=3a{{t}_{1}}^{2}+\frac{a{{t}_{1}}^{2}}{2}=\frac{7a{{t}_{1}}^{2}}{2}$ (12)

Считаем: исходя из нашего дано, мы можем уже начинать считать соотношения (2), (10) — (12), но давайте не спешить и просто поделим эти соотношения друг на друга:

$\displaystyle {{S}_{1}}:{{S}_{2}}:{{S}_{3}}:{{S}_{4}}=1:3:5:7$ (13)

Таким образом, мы получили ответ, не используя часть дано. Более того, это доказывает тот факт, что полученное нами соотношение верно для движения с любым ускорением.

Однако, исходя из дано, можно и найти необходимые пути:

$\displaystyle {{S}_{1}}=\frac{0,4*{{1}^{2}}}{2}=0,2$ м

$\displaystyle {{S}_{2}}=\frac{3*0,4*{{1}^{2}}}{2}=0,6$ м

$\displaystyle {{S}_{3}}=\frac{5*0,4*{{1}^{2}}}{2}=1,0$ м

$\displaystyle {{S}_{4}}=\frac{7*0,4*{{1}^{2}}}{2}=1,4$ м

При делении друг на друга получившихся чисел также получится соотношение (13).

Ответ: $\displaystyle {{S}_{1}}:{{S}_{2}}:{{S}_{3}}:{{S}_{4}}=1:3:5:7$

Ещё задачи на тему «Равнопеременное движение»

Поделиться ссылкой:

Добавить комментарий Отменить ответ