Задача Расстояние между точечными зарядами Кл и Кл составляет

Задача. Расстояние между точечными зарядами $\displaystyle {{q}_{1}}=4,0\cdot {{10}^{-9}}$ Кл и $\displaystyle {{q}_{2}}=-4,0\cdot {{10}^{-9}}$ Кл составляет $\displaystyle {{r}_{0}}=15,0$ см. Определите напряжённость электростатического поля в точках, удалённых от обоих зарядов на расстояние $\displaystyle r=10,0$ см.

Дано:

$\displaystyle {{q}_{1}}=4,0\cdot {{10}^{-9}}$ Кл
$\displaystyle {{q}_{2}}=-4,0\cdot {{10}^{-9}}$ Кл
$\displaystyle {{r}_{0}}=15,0$ см
$\displaystyle r=10,0$ см

Найти:
$\displaystyle {{E}_{0}}$ — ?

Решение

Думаем: в задаче необходимо найти суммарную напряжённость, создаваемую системой (двумя) зарядами. Для этого нам необходимо воспользоваться принципом суперпозиции для вектора напряжённости:

$\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{E}}}_{i}}}$ (1)

Напряжённость от каждого заряда можем найти исходя из определения напряжённости точечного заряда:

$\displaystyle E=k\frac{q}{{{r}^{2}}}$ (2)

Решаем: визуализируем систему зарядов и проведём линии напряжённости от каждого из зарядов. Помним, что направление напряжённости — от положительного заряда и к отрицательному заряду (рис. 1).

Рис. 1. Напряжённости от зарядов

Для поиска суммарной напряжённости нам необходимо векторно сложить обе напряжённости исходя из (2):

$\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}}$ (3)

Для поиска модуля суммы векторов необходимо увидеть вектор $\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}$ , а потом найти его модуль. Нарисуем его (рис. 2).

Рис. 2. Полная напряжённость системы

Для поиска модуля общей напряжённости. воспользуемся теоремой косинусов (т.к. треугольник не прямоугольный):

$\displaystyle E_{0}^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-2{{E}_{1}}{{E}_{2}}\cos \alpha$ (4)

Неизвестные напряжённости найдём из (2):

$\displaystyle {{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\frac{q}{{{r}^{2}}}=E$ (5)

Т.к. напряжённости равны (одинаковые расстояния $\displaystyle r$ и одинаковые модули зарядов $\displaystyle q=\left| {{q}_{1}} \right|=\left| {{q}_{2}} \right|$ ), то (4) существенно упрощается:

$\displaystyle E_{0}^{2}={{E}^{2}}+{{E}^{2}}-2EE\cos \alpha =2{{E}^{2}}(1-\cos \alpha )$ (6)

Неизвестный угол может быть найден исходя из той же самой теоремы косинусов, только для треугольника, построенного на известных расстояниях:

$\displaystyle r_{0}^{2}={{r}^{2}}+{{r}^{2}}-2rr\cos \alpha \Rightarrow r_{0}^{2}=2{{r}^{2}}(1-\cos \alpha )$ (7)

Поделим (6) на (7):

$\displaystyle \frac{E_{0}^{2}}{r_{0}^{2}}=\frac{2{{E}^{2}}(1-\cos \alpha )}{2{{r}^{2}}(1-\cos \alpha )}\Rightarrow \frac{E_{0}^{2}}{r_{0}^{2}}=\frac{{{E}^{2}}}{{{r}^{2}}}$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{{{E}_{0}}}{{{r}_{0}}}=\frac{E}{r}\Rightarrow {{E}_{0}}=E\frac{{{r}_{0}}}{r}$ (8)

Осталось подставить (5) в (8):

$\displaystyle {{E}_{0}}=k\frac{q}{{{r}^{2}}}\frac{{{r}_{0}}}{r}=k\frac{q{{r}_{0}}}{{{r}^{3}}}$ (9)

Считаем: вспоминаем константы $\displaystyle k\approx 9*{{10}^{9}}$ Н*м $\displaystyle ^{2}$ /Кл $\displaystyle ^{2}$ , И не забываем перевести все параметры (расстояния) в единицы СИ.

$\displaystyle {{E}_{0}}=9*{{10}^{9}}*\frac{4,0*{{10}^{-9}}*0,150}{{{(0,10)}^{3}}}=5,4*{{10}^{-3}}$ Н/м

Ответ: $\displaystyle {{E}_{0}}=5,4*{{10}^{-3}}$ Н/м.

Ещё задачи на тему «Напряжённость электростатического поля»

Поделиться ссылкой: