Задача Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии

Задача. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии $\displaystyle {{r}_{0}}=20,0$ см друг от друга. В точке, расположенной на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии $\displaystyle {{r}_{1}}=15,0$ см от первого заряда модуль напряжённости результирующего электростатического поля равен нулю. Определите отношение зарядов $\displaystyle \frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}$ .

Дано:

$\displaystyle {{r}_{0}}=20,0$ см
$\displaystyle {{r}_{1}}=15,0$ см

Найти:
$\displaystyle \frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}$ — ?

Решение

Думаем: источником напряжённости, заданной нам, являются точечные заряды, отношение которых нам нужно найти. Исходя из того, что заряд именно точечный, каждое из напряжений можно найти как:

$\displaystyle E=k\frac{q}{{{r}^{2}}}$ (1)

где
- $\displaystyle q$ — заряд-источник поля,
- $\displaystyle r$ — расстояние между точкой, в которой нам дана напряжённости и точечным зарядом,
- $\displaystyle k\approx 9*{{10}^{9}}$ Н*м $\displaystyle ^{2}$ /Кл $\displaystyle ^{2}$ — постоянная.

Однако из-за того, что напряжение в описанной точке (где суммарная напряжённость равна 0) создаётся несколькими зарядами, воспользуемся принципом суперпозиции для вектора электрической напряжённости:

$\displaystyle {{\vec{E}}_{0}}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{E}}}_{i}}}$ (2)

Для поиска модулей элементов (2) воспользуемся методом проецирования.

Решаем: искомые заряды можно найти в определении напряжённости, создаваемой точечным зарядом (1). Однако, с данном соотношении присутствуют расстояния от заряда-источника до точки, лучше их увидеть (рис. 1). Точка А — искомая точка.

Рис. 1. Расположение зарядов в системе

Пользуясь рисунком можем проанализировать заряды, которые нам необходимо найти. Их значения можно увидеть в соотношении (1), тогда:

$\displaystyle {{E}_{1}}=k\frac{{{q}_{1}}}{r_{1}^{2}}$ (3)

$\displaystyle {{E}_{2}}=k\frac{{{q}_{2}}}{{{(r-{{r}_{1}})}^{2}}}$ (4)

Однако значений $\displaystyle {{E}_{1}}$ и $\displaystyle {{E}_{2}}$ у нас нет, но мы ещё не использовали знание о том, что в точке А модуль результирующего поля равен 0. Пользуясь рис. 1 расставим направления напряжённости в точке А, создаваемой зарядами (рис. 2). Т.к. оба заряда положительны, направление линий напряжённости — от зарядов.

Рис. 2. Распределение напряжённости в системе

Спроецируем (2) на ось OX при условии, что $\displaystyle {{E}_{0}}=0$ (по задаче). Тогда:

$\displaystyle 0={{E}_{1}}-{{E}_{2}}$ (5)

Подставим (3) и (4) в (5) и выразим искомое:

$\displaystyle 0=k\frac{{{q}_{1}}}{r_{1}^{2}}-k\frac{{{q}_{2}}}{{{(r-{{r}_{1}})}^{2}}}\Rightarrow \frac{{{q}_{1}}}{r_{1}^{2}}=\frac{{{q}_{2}}}{{{(r-{{r}_{1}})}^{2}}}$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}=\frac{r_{1}^{2}}{{{(r-{{r}_{1}})}^{2}}}\Rightarrow \frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}={{\left( \frac{{{r}_{1}}}{r-{{r}_{1}}} \right)}^{2}}$ (6)

Считаем: т.к. в (6) у нас есть отношение, то перевод в единицы СИ не требуется.

$\displaystyle \frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}={{\left( \frac{15,0}{20,0-15,0} \right)}^{2}}={{\left( 3 \right)}^{2}}=9$

Ответ: $\displaystyle \frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}=9$ .

Ещё задачи на тему «Напряжённость электростатического поля»

Поделиться ссылкой: