Задача При разгоне автомобиля равнодействующая сил, приложенных

Задача. При разгоне автомобиля равнодействующая сил, приложенных к нему, совершила работу $\displaystyle A=50$ кДж. Какой должна быть тормозящая сила, чтобы остановить этот автомобиль на пути $\displaystyle S=100$ м при выключенном двигателе?

Дано:

$\displaystyle A=50$ кДж $\displaystyle S=100$ м

Найти:
$\displaystyle {{F}_{t}}$ — ?

Решение

Думаем: для нахождения силы чаще всего пользуются вторым законом Ньютона.

$\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}=m\vec{a}$ (1)

Для реализации закона воспользуемся планом. Вопрос об ускорении можно рассмотреть исходя из равнозамедленного движения. Т.к. нам нужно ускорение, а дан путь и знание о конечной скорости (тело остановилось):

$\displaystyle {{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}=-2aS$ (2)

Знак минус говорит о том, что тело замедляется. Начальная скорость замедления равна конечной скорости ускорения, по-этому соотношение (2) можно использовать и для описания разгона. А вопрос ускорения при разгоне можем обратно проанализировать исходя из второго закона Ньютона. Но таким образом мы вводим разгоняющую (результирующую) силу, которая и участвует в разгоне тела. Её мы можем найти, исходя из определения работы (тем более она нам задана):

$\displaystyle A=F\Delta r\cos \alpha$ (3)

где

$\displaystyle F$ — сила, совершающая работу,
$\displaystyle \Delta r$ — перемещение тела, вследствие действия силы,
$\displaystyle \alpha$ — угол между направлением силы и направлением движения.

Решаем: при торможении действует только одна сила торможения, найдём её из соотношения (1).

$\displaystyle {{F}_{t}}=m{{a}_{1}}$ (4)

Ускорение при торможении найдём через (2) при условии нулевой конечной скорости:

$\displaystyle -\upsilon _{0}^{2}=-2{{a}_{1}}S\Rightarrow {{a}_{1}}=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2S}$ (5)

Как уже было сказано ранее, начальная скорость торможения равна конечной скорости разгона ( $\displaystyle {{\upsilon }_{0}}={{\upsilon }_{k}}$ ). Саму конечную скорость найдём через (2) при условии нулевой начальной скорости:

$\displaystyle \upsilon _{k}^{2}=2{{a}_{2}}{{S}_{2}}\Rightarrow {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{2{{a}_{2}}{{S}_{2}}}$ (6)

Неизвестные ускорение и путь, проделанный телом при разгоне можем найти исходя из определения работы (3) при условии второго закона Ньютона (1). Т.к. работу совершила равнодействующая сила, то:

$\displaystyle {{F}_{r}}=m{{a}_{2}}$ (7)

А работа этой силы при условии совпадения направления перемещения и действия силы ( $\displaystyle \alpha =0$ ):

$\displaystyle A={{F}_{r}}{{S}_{2}}\cos 0={{F}_{r}}{{S}_{2}}$ (8)

Подставим (7) в (8) и выразим необходимое:

$\displaystyle A=m{{a}_{2}}{{S}_{2}}\Rightarrow {{a}_{2}}{{S}_{2}}=\frac{A}{m}$ (9)

Подставим (9) в (6):

$\displaystyle {{\upsilon }_{k}}=\sqrt{2\frac{A}{m}}$ (10)

При условии равенства скоростей, подставим (10) в (5):

$\displaystyle {{a}_{1}}=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2S}=\frac{1}{2S}{{\left( \sqrt{2\frac{A}{m}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2S}2\frac{A}{m}=\frac{A}{Sm}$ (11)

И последнее, что нам осталось, подставить получившееся ускорение в соотношение (4):

$\displaystyle {{F}_{t}}=m\frac{A}{Sm}=\frac{A}{S}$ (12)

Как видим, мы получили вполне логичное соотношение. Приведённый принцип решения задачи более-менее универсален и может быть использован для задач с различными силами и с различным их количеством.

Упрощённый способ решения задачи. Задачу можно было бы решить более быстро. По сути работа по разгону автомобиля должна равняться работе по его остановке. Сила что в первом случае, что во втором одна, тогда :

$\displaystyle A={{F}_{t}}S\Rightarrow {{F}_{t}}=\frac{A}{S}$ (13)

Считаем:

$\displaystyle {{F}_{t}}=\frac{50*{{10}^{3}}}{100}=500$ Н

Ответ: $\displaystyle {{F}_{t}}=500$ Н.

Ещё задачи на тему «Механическая работа».

Поделиться ссылкой: