Задача. Результатом работы идеального теплового двигателя был

Задача. Результатом работы идеального теплового двигателя был подъём груза массой $\displaystyle m=150$ кг на высоту $\displaystyle h=15$ м. Отношение количества теплоты, полученного за один цикл от нагревателя, к температуре нагревателя $\displaystyle \frac{{{Q}_{1}}}{{{T}_{1}}}=30$ Дж/K, а разность температур нагревателя и холодильника $\displaystyle {{T}_{1}}-{{T}_{2}}=145$ К. Определите, какое количество циклов было совершено за время подъёма груза.

Дано:

$\displaystyle m=150$ кг
$\displaystyle h=15$ м
$\displaystyle \frac{{{Q}_{1}}}{{{T}_{1}}}=30$ Дж/K
$\displaystyle {{T}_{1}}-{{T}_{2}}=145$ К

Найти:
$\displaystyle N$ — ?

Решение

Думаем: задачи, связанные с поиском количества чего-либо, логически решаются через некий параметр (его нужно поискать в задаче), характеризующий систему в целом (общем) и в частном. Звучит ужасно, но в нашей задаче количество циклов можно найти через:

$\displaystyle N=\frac{A}{{{A}_{0}}}$ (1)

где $\displaystyle A$ — работа, необходимая для подъёма груза (полная энергия, описанная в задаче), $\displaystyle {{A}_{0}}$ — работа, отданная газом (ушедшая на подъём груза) за один цикл. Таким образом, количество циклов — это количество порций энергий ( $\displaystyle {{A}_{0}}$ ), которые нужно получить из тепловой машины, чтобы суммарная энергия была равна или больше энергии, необходимой для подъёма.

Работа газа может быть найдена по определению КПД любого цикла:

$\displaystyle \eta =\frac{{{A}_{0}}}{{{Q}_{1}}}$ (2)

Введённый КПД рассмотрим исходя из фразы «идеальный тепловой двигатель». По этой фразе мы заключаем, что рассматриваемый цикл — цикл Карно, а значит КПД данного цикла можно найти исходя из введённых в дано параметров температуры холодильника и нагревателя:

$\displaystyle \eta =\frac{{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}$ (3)

И последнее, что мы не рассмотрели — это механическая работа ( $\displaystyle A$ ), по определению механической работы:

$\displaystyle A=F\Delta r\cos \alpha$ (4)

Применительно к нашей задаче, сила, против которой мы совершаем работу — это сила тяжести и т.к. подъём равномерный, то $\displaystyle F=mg$ . $\displaystyle \cos \alpha =1$ — т.к. угол между направлением движения и действием силы равен нулю, а перемещение в этой задаче нам задано ( $\displaystyle \Delta r=h$ ). Тогда:

$\displaystyle A=mgh$ (5)

Решаем: начнём собирать наши формулы с последней. Подставим (3) в (2) и выразим $\displaystyle \frac{{{A}_{0}}}{{{Q}_{1}}}$ :

$\displaystyle \frac{{{A}_{0}}}{{{Q}_{1}}}=\frac{{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\Rightarrow {{A}_{0}}={{Q}_{1}}\frac{{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}$ (6)