Во сколько раз модуль линейной скорости конца минутной стрелки часов, установленных на башне

Задача. Во сколько раз модуль линейной скорости конца минутной стрелки часов, установленных на башне,  больше модуля линейной скорости часовой стрелки, если длина минутной стрелки \displaystyle {{R}_{1}}=1,50 м, а часовой — \displaystyle {{R}_{2}}=1,10 м? Как соотносятся их угловые скорости? Как соотносятся их центростремительные ускорения?

Дано:

\displaystyle {{R}_{1}}=1,50 м \displaystyle {{R}_{2}}=1,10 м

Найти:
\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}} — ?

\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}} — ?

\displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}} — ?

Решение

 Думаем: в задаче движутся два тела, однако траектория движения обоих тел — окружность.  Кроме основного дано, мы можем воспользоваться знанием о конкретном движущимся теле: «часовая стрелка» имеет период обращения \displaystyle {{T}_{1}}=12 ч, а «минутная стрелка» — \displaystyle {{T}_{2}}=1 ч. Таком образом, наша непосредственная задача — связать все известные параметры с неизвестными. Кроме того, чаще всего период обращения тела непосредственно связан с угловой скоростью:

\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T} (1)

Решаем: начнём с линейной скорости:

\displaystyle \upsilon =\omega R (2)

Или, с учётом (1):

\displaystyle \upsilon =\frac{2\pi }{T}R (3)

Соотношение (3) описывает движение как первой, так и второй стрелки:

\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=\frac{2\pi }{{{T}_{1}}}{{R}_{1}} (4)

\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=\frac{2\pi }{{{T}_{2}}}{{R}_{2}} (5)

Тогда:

\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{2\pi {{R}_{2}}}{{{T}_{2}}}\frac{{{T}_{1}}}{2\pi {{R}_{1}}}=\frac{{{R}_{2}}}{{{T}_{2}}}\frac{{{T}_{1}}}{{{R}_{1}}} (6)

В правой части всё известно.

Второй вопрос задачи уже практически решён. Из (1):

\displaystyle {{\omega }_{1}}=\frac{2\pi }{{{T}_{1}}} (7)

\displaystyle {{\omega }_{2}}=\frac{2\pi }{{{T}_{2}}} (8)

Тогда:

\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=\frac{2\pi }{{{T}_{2}}}\frac{{{T}_{1}}}{2\pi }=\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}} (9)

В правой части всё известно.

Перейдём к третьему вопросу задачи. Центростремительное ускорение можно найти различными способами, остановимся на:

\displaystyle a={{\omega }^{2}}R (10)

С учётом (1):

\displaystyle a={{(\frac{T}{2\pi })}^{2}}R=\frac{{{T}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}R (11)

Адаптируем данное соотношение к движению обеих стрелок:

\displaystyle {{a}_{1}}=\frac{{{T}_{1}}^{2}}{4{{\pi }^{2}}}{{R}_{1}} (12)

\displaystyle {{a}_{2}}=\frac{{{T}_{2}}^{2}}{4{{\pi }^{2}}}{{R}_{2}} (13)

Тогда:

 \displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=\frac{4{{\pi }^{2}}{{R}_{2}}}{{{T}_{2}}^{2}}\frac{{{T}_{1}}^{2}}{4{{\pi }^{2}}{{R}_{1}}}=\frac{{{R}_{2}}{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}{{R}_{1}}} (14)

Опять мы довели уравнение в правой части до дано.

Считаем:

\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=\frac{1,10}{1}\frac{12}{1,50}=8,8

\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=\frac{12}{1}=12

\displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=\frac{1,10*{{12}^{2}}}{{{1}^{2}}*1,50}=105,6

Ответ\displaystyle \frac{{{\upsilon }_{2}}}{{{\upsilon }_{1}}}=8,8\displaystyle \frac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=12\displaystyle \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=105,6.

Ещё задачи на тему «Кинематика вращательного движения»

Добавить комментарий