Задача. Во сколько раз модуль линейной скорости конца минутной стрелки часов, установленных на башне, больше модуля линейной скорости часовой стрелки, если длина минутной стрелки м, а часовой — м? Как соотносятся их угловые скорости? Как соотносятся их центростремительные ускорения?
Дано:
м м
Найти:
— ?
— ?
— ?
Решение
Думаем: в задаче движутся два тела, однако траектория движения обоих тел — окружность. Кроме основного дано, мы можем воспользоваться знанием о конкретном движущимся теле: «часовая стрелка» имеет период обращения ч, а «минутная стрелка» — ч. Таком образом, наша непосредственная задача — связать все известные параметры с неизвестными. Кроме того, чаще всего период обращения тела непосредственно связан с угловой скоростью:
(1)
Решаем: начнём с линейной скорости:
(2)
Или, с учётом (1):
(3)
Соотношение (3) описывает движение как первой, так и второй стрелки:
(4)
(5)
Тогда:
(6)
В правой части всё известно.
Второй вопрос задачи уже практически решён. Из (1):
(7)
(8)
Тогда:
(9)
В правой части всё известно.
Перейдём к третьему вопросу задачи. Центростремительное ускорение можно найти различными способами, остановимся на:
(10)
С учётом (1):
(11)
Адаптируем данное соотношение к движению обеих стрелок:
(12)
(13)
Тогда:
(14)
Опять мы довели уравнение в правой части до дано.
Считаем:
Ответ: ; ; .