На краю диска радиусом, вращающегося равномерно

Задача. На краю диска радиусом \displaystyle R=50 см, вращающегося равномерно с частотой \displaystyle v=0,6 с-1, лежит шайба. Определите максимальный коэффициент трения шайбы о диск, при котором шайба ещё не соскальзывает с диска.

Дано:

\displaystyle R=50 см
\displaystyle v=0,6 с-1

Найти:
\displaystyle \mu — ?

Решение

Думаем: задача касается силы трения покоя. Тело, находящееся на вращающемся диске должно соскользнуть из-за сил инерции. Соответственно сила, удерживающая тело от сдвига — сила трения (единственная сила, препятствующая движению). Тогда решение касается использования плана и второго закона Ньютона:

\displaystyle m\vec{a}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}} (1)

  • где
    • \displaystyle m — масса тела,
    • \displaystyle {\vec{a}} — ускорение тела,
    • \displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}} — векторная сумма сил, действующих на тело.

Использование в дано коэффициента терния говорит о связи силы трения и силы нормальной реакции опоры:

\displaystyle {{F}_{tr}}=\mu N (2)

Решаем: использование (1) диктуется планом, реализуем его. Рассмотрим силы. Исходя из того, что у тела есть масса, значит на него действует сила тяжести со стороны Земли (\displaystyle mg). Также действует сила трения (\displaystyle {{F}_{tr}}), т.к. нам необходимо узнать коэффициент трения. Т.к. тело касается поверхности, то на него действует сила нормальной реакции опоры (\displaystyle N).  Переходим к рисунку (рис. 1). Расставим силы, проведём оси. Т.к. тело находится во вращательном движении, у него присутствует центростремительное ускорение (\displaystyle {{a}_{n}}), направленное к центру окружности.

Рис. 1. Расстановка сил

Рис. 1. Расстановка сил

Запишем (1) в проекциях на оси OX и OY:

  • для OX

\displaystyle {{F}_{tr}}=m{{a}_{n}} (3)

  • для OY

\displaystyle N-mg=0 (4)

Дальнейшее решение связано с поиском центростремительного ускорения. Т.к. нам задана частота вращения, то необходимо ввести угловую скорость вращения (\displaystyle \omega ) и через неё выразить центростремительное ускорение. Введём угловую скорость:

\displaystyle \omega =2\pi \nu (5)

И выразим через угловую скорость центростремительное ускорение:

\displaystyle {{a}_{n}}={{\omega }^{2}}R (6)

Совместим (6) и (5):

\displaystyle {{a}_{n}}={{(2\pi \nu )}^{2}}R (7)

Подставим (7) в (3):

\displaystyle {{F}_{tr}}=m{{(2\pi \nu )}^{2}}R (8)

Неизвестную силу трения найдём через (2) при подстановке силы нормальной реакции опоры из (4):

\displaystyle {{F}_{tr}}=\mu N=\mu mg (9)

Подставим (9) в (8) и, наконец, выразим искомый коэффициент:

\displaystyle \mu mg=m{{(2\pi \nu )}^{2}}R\Rightarrow \mu g={{(2\pi \nu )}^{2}}R\Rightarrow \mu =\frac{{{(2\pi \nu )}^{2}}R}{g} (10)

Считаем: не забываем перевести все параметры в единицы СИ. Вспоминаем значение ускорения свободного падения (\displaystyle g=10  м/с\displaystyle ^{2}) и константы \displaystyle \pi =3,14.

\displaystyle \mu =\frac{{{(2*3,14*0,6)}^{2}}*0,5}{10}\approx 0,7

Ответ\displaystyle \mu \approx 0,7.

Ещё задачи по теме «Динамика. Силы»