Задача На краю диска радиусом см, вращающегося равномерно

Задача. На краю диска радиусом $\displaystyle R=50$ см, вращающегося равномерно с частотой $\displaystyle v=0,6$ с^-1, лежит шайба. Определите максимальный коэффициент трения шайбы о диск, при котором шайба ещё не соскальзывает с диска.

Дано:

$\displaystyle R=50$ см
$\displaystyle v=0,6$ с^-1

Найти:
$\displaystyle \mu$ — ?

Решение

Думаем: задача касается силы трения покоя. Тело, находящееся на вращающемся диске должно соскользнуть из-за сил инерции. Соответственно сила, удерживающая тело от сдвига — сила трения (единственная сила, препятствующая движению). Тогда решение касается использования плана и второго закона Ньютона:

$\displaystyle m\vec{a}=\sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}$ (1)

где
- $\displaystyle m$ — масса тела,
- $\displaystyle {\vec{a}}$ — ускорение тела,
- $\displaystyle \sum\limits_{i}{{{{\vec{F}}}_{i}}}$ — векторная сумма сил, действующих на тело.

Использование в дано коэффициента терния говорит о связи силы трения и силы нормальной реакции опоры:

$\displaystyle {{F}_{tr}}=\mu N$ (2)

Решаем: использование (1) диктуется планом, реализуем его. Рассмотрим силы. Исходя из того, что у тела есть масса, значит на него действует сила тяжести со стороны Земли ( $\displaystyle mg$ ). Также действует сила трения ( $\displaystyle {{F}_{tr}}$ ), т.к. нам необходимо узнать коэффициент трения. Т.к. тело касается поверхности, то на него действует сила нормальной реакции опоры ( $\displaystyle N$ ). Переходим к рисунку (рис. 1). Расставим силы, проведём оси. Т.к. тело находится во вращательном движении, у него присутствует центростремительное ускорение ( $\displaystyle {{a}_{n}}$ ), направленное к центру окружности.

Рис. 1. Расстановка сил

Запишем (1) в проекциях на оси OX и OY:

для OX

$\displaystyle {{F}_{tr}}=m{{a}_{n}}$ (3)

для OY

$\displaystyle N-mg=0$ (4)

Дальнейшее решение связано с поиском центростремительного ускорения. Т.к. нам задана частота вращения, то необходимо ввести угловую скорость вращения ( $\displaystyle \omega$ ) и через неё выразить центростремительное ускорение. Введём угловую скорость:

$\displaystyle \omega =2\pi \nu$ (5)

И выразим через угловую скорость центростремительное ускорение:

$\displaystyle {{a}_{n}}={{\omega }^{2}}R$ (6)

Совместим (6) и (5):

$\displaystyle {{a}_{n}}={{(2\pi \nu )}^{2}}R$ (7)

Подставим (7) в (3):

$\displaystyle {{F}_{tr}}=m{{(2\pi \nu )}^{2}}R$ (8)

Неизвестную силу трения найдём через (2) при подстановке силы нормальной реакции опоры из (4):

$\displaystyle {{F}_{tr}}=\mu N=\mu mg$ (9)

Подставим (9) в (8) и, наконец, выразим искомый коэффициент:

$\displaystyle \mu mg=m{{(2\pi \nu )}^{2}}R\Rightarrow \mu g={{(2\pi \nu )}^{2}}R\Rightarrow \mu =\frac{{{(2\pi \nu )}^{2}}R}{g}$ (10)

Считаем: не забываем перевести все параметры в единицы СИ. Вспоминаем значение ускорения свободного падения ( $\displaystyle g=10$ м/с $\displaystyle ^{2}$ ) и константы $\displaystyle \pi =3,14$ .

$\displaystyle \mu =\frac{{{(2*3,14*0,6)}^{2}}*0,5}{10}\approx 0,7$

Ответ: $\displaystyle \mu \approx 0,7$ .

Ещё задачи по теме «Динамика. Силы»

Поделиться ссылкой: