Тело бросили с поверхностью Земли вертикально вверх со скоростью

Задача. Тело бросили с поверхностью Земли вертикально вверх со скоростью \displaystyle \upsilon =30 м/с. На какой высоте от поверхности Земли скорость тела уменьшится в 1.5 раза? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:
\displaystyle \upsilon = 30 м/с
\displaystyle \upsilon =1,5{{\upsilon }_{1}}

Найти:
\displaystyle h — ?

Решение

Думаем: для данной задачи возможен кинематический способ решения задачи, через идею равноускоренного движения. Однако, в данном случае, в отсутствие времени как известного параметра, воспользуемся логикой закона сохранения энергии. Считаем, что на тело не действуют диссипативные силы (силами сопротивления пренебрежём), тогда сделаем вывод, то закон сохранения энергии выполняется. Т.е. полная механическая энергия не изменяется:

\displaystyle {{E}_{{k1}}}+{{E}_{{p1}}}={{E}_{{k2}}}+{{E}_{{p2}}} (1)

  • где
    • \displaystyle {{E}_{k1}}, \displaystyle {{E}_{k2}} — кинетическая энергия системы тел в начальном/конечном положении
    • \displaystyle {{E}_{p1}}\displaystyle {{E}_{p2}} — суммарная потенциальная энергия системы тел в начальном/конечном положении

Кинетическая энергия движения:

\displaystyle {{E}_{k}}=\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2} (2)

  • где
    • \displaystyle {{E}_{k}} — кинетическая энергия движения тела
    • \displaystyle m — масса тела
    • \displaystyle \upsilon — скорость тела.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия:

\displaystyle {{E}_{p}}=mgh (3)

  • где
    • \displaystyle {{E}_{p}} — потенциальная энергия гравитационных взаимодействий
    • \displaystyle m — масса тела
    • \displaystyle g — ускорение свободного падения (\displaystyle g=10 м/с\displaystyle ^{2})
    • \displaystyle h — высота тела над выбранным уровнем нулевой потенциальной энергии.

Решаем: для энергетического подхода нам необходимо выбрать нулевой уровень потенциальной энергии (путь это будет уровень броска) (рис. 1).

Рис.1 Анализ точек движения

Рис.1 Анализ точек движения

Тогда, мы можем записать соотношение (1) для нашего движения с учётом (2) и (3):

\displaystyle \frac{{m{{\upsilon }^{2}}}}{2}+0=mgh+\frac{{m\upsilon _{1}^{2}}}{2} (4)

Сократим на массу и введём условие из дано:

\displaystyle \frac{{{{\upsilon }^{2}}}}{2}=gh+\frac{{{{\upsilon }^{2}}}}{{2*{{{(1,5)}}^{2}}}} (5)

И выразим высоту:

\displaystyle 2,25*{{\upsilon }^{2}}=4,5*gh+{{\upsilon }^{2}}\Rightarrow 1,25*{{\upsilon }^{2}}=4,5*gh\Rightarrow

\displaystyle h=\frac{5}{{18}}\frac{{{{\upsilon }^{2}}}}{g}

Считаем: осталось посчитать. Вспоминаем про ускорение свободного падения (\displaystyle g=10 м/с\displaystyle ^{2}). Тогда:

\displaystyle h=\frac{5}{{18}}\frac{{{{{30}}^{2}}}}{{10}}=25 (м/с)

Ответ: \displaystyle h=25 (м/с).

Ещё задачи на тему «Закон сохранения и изменения энергии»