Камень, брошенный вертикально вверх, достиг высоты

Задача. Камень, брошенный вертикально вверх, достиг высоты \displaystyle h=10 м. На какую высоту он поднимется при сообщении ему в 3 раза большей начальной скорости?

Дано:
\displaystyle h=10 м
\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=3*{{\upsilon }_{1}}

 

Найти:
\displaystyle {{h}_{2}} — ?

Решение

Думаем: для данной задачи возможен кинематический способ решения задачи, через идею равноускоренного движения. Однако, в данном случае, в отсутствие времени как известного параметра, воспользуемся логикой закона сохранения энергии. Считаем, что на тело не действуют диссипативные силы (силами сопротивления пренебрежём), тогда сделаем вывод, то закон сохранения энергии выполняется. Т.е. полная механическая энергия не изменяется:

\displaystyle {{E}_{{k1}}}+{{E}_{{p1}}}={{E}_{{k2}}}+{{E}_{{p2}}} (1)

  • где
      • \displaystyle {{E}_{k1}}, \displaystyle {{E}_{k2}} — кинетическая энергия системы тел в начальном/конечном положении
      • \displaystyle {{E}_{p1}}\displaystyle {{E}_{p2}} — суммарная потенциальная энергия системы тел в начальном/конечном положении

    Достижение высоты означает, что на максимуме высоты конечная скорость равна нулю

Соответственно, кинетическая энергия:

Кинетическая энергия движения:

\displaystyle {{E}_{k}}=\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2} (2)

  • где
      • \displaystyle {{E}_{k}} — кинетическая энергия движения тела
      • \displaystyle m — масса тела
      • \displaystyle \upsilon — скорость тела.

    Соответственно, потенциальна энергия:

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия:

\displaystyle {{E}_{p}}=mgh (3)

  • где
    • \displaystyle {{E}_{p}} — потенциальная энергия гравитационных взаимодействий
    • \displaystyle m — масса тела
    • \displaystyle g — ускорение свободного падения (\displaystyle g=10 м/с\displaystyle ^{2})
    • \displaystyle h — высота тела над выбранным уровнем нулевой потенциальной энергии.

Решаем: для энергетического подхода нам необходимо выбрать нулевой уровень потенциальной энергии (путь это будет уровень броска) (рис. 1).

Рис.1 Анализ точек движения

Рис.1 Анализ точек движения

Тогда, мы можем записать соотношение (1) с учётом (2) и (3):

  • для первого тела:

\displaystyle \frac{{m\upsilon _{1}^{2}}}{2}+0=0+mgh\Rightarrow \upsilon _{1}^{2}=2gh (4)

  • для второго тела:

\displaystyle \frac{{m\upsilon _{2}^{2}}}{2}+0=0+mg{{h}_{2}}\Rightarrow \upsilon _{2}^{2}=2g{{h}_{2}} (5)

Поскольку у нас нет значение скорости, а есть только соотношение, то самым удачным способом решения системы (4), (5) есть деление уравнения (5) на уравнение (4):

\displaystyle \frac{{\upsilon _{2}^{2}}}{{\upsilon _{1}^{2}}}=\frac{{2g{{h}_{2}}}}{{2gh}}\Rightarrow \frac{{{{\upsilon }_{2}}}}{{{{\upsilon }_{1}}}}=\frac{{{{h}_{2}}}}{h} (6)

Воспользуемся в (6) соотношением из дано:

\displaystyle \frac{{{{\upsilon }_{2}}}}{{{{\upsilon }_{1}}}}=\frac{{{{h}_{2}}}}{h}\Rightarrow {{h}_{2}}=h\frac{{{{\upsilon }_{2}}}}{{{{\upsilon }_{1}}}}=h\frac{{3*{{\upsilon }_{1}}}}{{{{\upsilon }_{1}}}}=3h (7)

Считаем: осталось немного.

\displaystyle {{h}_{2}}=3*10=30 (м)

Ответ: \displaystyle {{h}_{2}}=30 (м).

Ещё задачи на тему «Закон сохранения и изменения энергии»