Задача При измерении периода полураспада радиоактивного

Задача. При измерении периода полураспада радиоактивного вещества использован счётчик импульсов. В течение промежутка времени $\displaystyle {{t}_{1}}=1$ мин было зарегистрировано $\displaystyle {{n}_{1}}=500$ импульсов, а спустя промежуток времени $\displaystyle {{t}_{0}}=40$ мин после начала первого измерения зарегистрировано $\displaystyle {{n}_{2}}=200$ импульса за минуту. Определите период полураспада $\displaystyle T$ данного радиоактивного вещества.

Дано:

$\displaystyle {{t}_{1}}=1$ мин

$\displaystyle {{n}_{1}}=500$

$\displaystyle {{t}_{0}}=40$ мин

$\displaystyle {{n}_{2}}=200$

$\displaystyle {{t}_{2}}=1$ мин

Найти:
$\displaystyle T$ — ?

Решение

Думаем: единственное место, где можно увидеть период полураспада — это уравнение радиоактивного распада.

$\displaystyle N={{N}_{0}}{{2}^{\frac{-t}{T}}}$ (1)

где
- $\displaystyle N$ — число не распавшихся ядер,
- $\displaystyle {{N}_{0}}$ — изначальное число ядер,
- $\displaystyle t$ — время распада,
- $\displaystyle T$ — время полураспада вещества (табличная величина).

В задаче упомянуто количество зарегистрированных импульсов, что мы можем определить как количество распавшихся ядер:
$\displaystyle n={{N}_{0}}-N$ (2)

Решаем: с решением хуже. Давайте выразим количество зарегистрированных импульсов через необходимый параметр (период полураспада). Подставим (1) в (2) и выразим:

$\displaystyle n={{N}_{0}}-{{N}_{0}}{{2}^{{-\frac{t}{T}}}}={{N}_{0}}\left( {1-{{2}^{{-\frac{t}{T}}}}} \right)$ (3)

Тогда для первого случая из (3):

$\displaystyle {{n}_{1}}={{N}_{{{{0}_{1}}}}}\left( {1-{{2}^{{-\frac{{{{t}_{1}}}}{T}}}}} \right)$ (4)

Тогда для второго случая из (3):

$\displaystyle {{n}_{2}}={{N}_{{{{0}_{2}}}}}\left( {1-{{2}^{{-\frac{{{{t}_{2}}}}{T}}}}} \right)$ (5)

И небольшая логика на промежуток времени $\displaystyle {{t}_{0}}$ . Можем сделать вывод, что из изначального количества $\displaystyle {{N}_{{{{0}_{1}}}}}$ по прошествии времени $\displaystyle {{t}_{0}}$ останется не распавшимися количество ядер $\displaystyle {{N}_{{{{0}_{2}}}}}$ . Тогда:

$\displaystyle {{N}_{{{{0}_{2}}}}}={{N}_{{{{0}_{1}}}}}{{2}^{{-\frac{{{{t}_{0}}}}{T}}}}\Rightarrow \frac{{{{N}_{{{{0}_{2}}}}}}}{{{{N}_{{{{0}_{1}}}}}}}={{2}^{{-\frac{{{{t}_{0}}}}{T}}}}$ (6)

Разделим (5) на (4):

$\displaystyle \frac{{{{n}_{2}}}}{{{{n}_{1}}}}=\frac{{{{N}_{{{{0}_{2}}}}}\left( {1-{{2}^{{-\frac{{{{t}_{2}}}}{T}}}}} \right)}}{{{{N}_{{{{0}_{1}}}}}\left( {1-{{2}^{{-\frac{{{{t}_{1}}}}{T}}}}} \right)}}$ (7)

Зная что $\displaystyle {{t}_{1}}={{t}_{2}}$ , получим:

$\displaystyle \frac{{{{n}_{2}}}}{{{{n}_{1}}}}=\frac{{{{N}_{{{{0}_{2}}}}}}}{{{{N}_{{{{0}_{1}}}}}}}$ (8)

Выразим соответствующее соотношение из (6):

$\displaystyle {{N}_{{{{0}_{2}}}}}={{N}_{{{{0}_{1}}}}}{{2}^{{-\frac{{{{t}_{0}}}}{T}}}}\Rightarrow \frac{{{{N}_{{{{0}_{2}}}}}}}{{{{N}_{{{{0}_{1}}}}}}}={{2}^{{-\frac{{{{t}_{0}}}}{T}}}}$ (9)

И подставим в (8):

$\displaystyle \frac{{{{n}_{2}}}}{{{{n}_{1}}}}={{2}^{{-\frac{{{{t}_{0}}}}{T}}}}$ (10)

В итоге, мы получили соотношение, в котором есть только искомое неизвестное, которое, правда, находится в степени. Прологарифмируем по любому основанию:

$\displaystyle {{\log }_{2}}\frac{{{{n}_{2}}}}{{{{n}_{1}}}}={{\log }_{2}}\left( {{{2}^{{-\frac{{{{t}_{0}}}}{T}}}}} \right)$ (11)

Воспользуемся основным свойством логарифма:

$\displaystyle {{\log }_{2}}\frac{{{{n}_{2}}}}{{{{n}_{1}}}}=-\frac{{{{t}_{0}}}}{T}{{\log }_{2}}2$ (12)

Выразим из (12) искомое:

$\displaystyle T=-\frac{{{{t}_{0}}}}{{{{{\log }}_{2}}\frac{{{{n}_{2}}}}{{{{n}_{1}}}}}}$ (13)

Считаем: выражать время в единицах СИ особо не нужно т.к. и ответ мы получим в тех же единицах (так что ответ, если надо, переведём во что надо).

$\displaystyle T=-\frac{{40}}{{{{{\log }}_{2}}\frac{{200}}{{500}}}}=-\frac{{40}}{{-1,322}}\simeq 30,3$ (мин)

Ответ: $\displaystyle T\simeq 30,3$ мин.

Ещё задачи по теме «Закон радиоактивного распада«.

Поделиться ссылкой: