Задача. Материальная точка совершает колебания по закону. За

Задача. Материальная точка совершает колебания по закону $\displaystyle x(t)=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})$ . За период колебаний точка проходит путь $\displaystyle l=60,0$ см. Определите координату $\displaystyle {{x}_{1}}$ материальной точки в момент времени $\displaystyle {{t}_{1}}$ , когда фаза колебаний $\displaystyle \varphi =0,25\pi$ .

Дано:

$\displaystyle x(t)=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})$
$\displaystyle l=60,0$ см
$\displaystyle \varphi =0,25\pi$

Найти:
$\displaystyle {{x}_{1}}$ — ?

Решение

Думаем: судя по заданному закону, колебание — гармоническое. Тогда, для поиска необходимой нам координаты подойдёт уравнение гармонических колебаний:

$\displaystyle x=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})$ (1)

Неизвестную величину амплитуды проанализируем из фразы «за период колебаний точка проходит путь», которая говорит о том, что тело из положения равновесия отклонилось до своего максимального значения координаты (1-2), потом вернулось в точку положения равновесия (2-3), далее отклонилось до своего максимального значения в другой стороне (3-4), далее вернулось в изначальную точку (4-1). Иллюстрация данного движения на рис. 1. Точки 2 и 4 — крайние точки движения, точки 1 и 3 — точки положения равновесия.

Рис. 1. Визуализация периода колебания

Вспоминаем, что амплитудой колебания называется расстояние наибольшего отклонения от положения равновесия. На нашем рисунке это любое расстояние между точками (1-2, 2-3, 3-4, 4-1). Тогда за период колебания расстояние, которое пройдёт тело:

$\displaystyle l=A+A+A+A=4A$ (2)

Решаем: фазой колебания, заданной в задаче, называется всё, что стоит в уравнении (1) под тригонометрической функцией, т.е. $\displaystyle \omega t+{{\varphi }_{0}}=\varphi$ , тогда адаптируем (1):