На концах лёгкого стержня длиной подвешены грузы массами

Задача. На концах лёгкого стержня длиной \displaystyle l=42 см подвешены грузы массами \displaystyle {{m}_{1}}=30 г и \displaystyle {{m}_{2}}=110 г. Где нужно подпереть стержень, чтобы он был в равновесии?

Дано:

\displaystyle l=42 см
\displaystyle {{m}_{1}}=30 г
\displaystyle {{m}_{2}}=110 г

Найти:
\displaystyle x — ?

Решение

Думаем: фраза «чтобы он был в равновесии» говорит о том, что при упоре тело должно покоится, т.е. не двигаться поступательно и не вращаться. Это говорит о том, что задача связана с элементами статики. Для решения такого типа задач необходимо найти моменты каждой из действующих сил:

\displaystyle M=F*d (1)

А потом воспользоваться уравнением моментов:

\displaystyle \sum{\vec{M}=0}  (2)

Решаем: для начала сделаем рисунок, чтобы визуализировать \displaystyle d — плечи каждой из сил (рис. 1).

задача 1

Рис. 1. Расположение сил для поиска моментов сил

На нашем рисунке точка О — точка, в которой нужно подпереть стержень, чтобы он остался в равновесии (мы её выбрали совершенно произвольно). Вопрос «где нужно подпереть» заключается в расстоянии от точки О до любой другой зафиксированной точки (мы выбрали правый конец). В уравнении (1) присутствует плечо силы \displaystyle d — расстояние от точки О до линии действия силы:

  • для силы \displaystyle {{m}_{1}}g — это расстояние \displaystyle l-x,
  • для силы \displaystyle {{m}_{2}}g — это расстояние \displaystyle x,
  • для силы \displaystyle N — это расстояние ноль.

Тогда моменты сил, исходя из (1):

\displaystyle {{M}_{1}}={{m}_{1}}g(l-x) (2)

\displaystyle {{M}_{2}}={{m}_{2}}gx (3)

\displaystyle {{M}_{3}}=N*0 (4)

Учтём правило знаков: момент сил, вращающих тело против часовой стрелки будем считать положительным, а момент сил, вращающих тело по часовой стрелки — отрицательным.

Тогда:

\displaystyle {{M}_{1}}={{m}_{1}}g(l-x) (5)

\displaystyle {{M}_{2}}=-{{m}_{2}}gx (6)

Теперь воспользуемся уравнением моментов (2) применительно к нашей задаче:

\displaystyle {{\vec{M}}_{1}}+{{\vec{M}}_{2}}=0\Rightarrow {{m}_{1}}g(l-x)-{{m}_{2}}gx=0 (7)

Сократим и найдём искомое \displaystyle x в (7):

\displaystyle {{m}_{1}}(l-x)={{m}_{2}}x\Rightarrow {{m}_{1}}l={{m}_{1}}x+{{m}_{2}}x \displaystyle \Rightarrow {{m}_{1}}l=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})x\Rightarrow x=\frac{{{m}_{1}}l}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}=\frac{{{m}_{1}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}l (8)

Считаем:

\displaystyle x=\frac{30}{(30+110)}42=9 см

Как вы заметили, все размерности мы не переводили в единицы СИ. Массы сократились бы при любых размерностях, а ответ мы взяли в сантиметрах, если будет необходимо, то мы можем перевести уже ответ в метры.

Ответ: \displaystyle x=9 см.

Ещё задачи на тему «Статика».

Добавить комментарий