Задача. При изобарном увеличении температуры азота на К силой его

Задача. При изобарном увеличении температуры азота на $\displaystyle \Delta T=150$ К силой его давления совершена работа $\displaystyle A=20$ кДж. Определите массу азота.

Дано:

$\displaystyle \Delta T=150$ К
$\displaystyle A=20$ кДж

Найти:
$\displaystyle m$ — ?

Решение

Думаем: анализируя дано (наличие изменения температуры, а также работу газа, связанную с давлением и изменением объёма), массу газа можно найти исходя из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$\displaystyle PV=\frac{m}{M}RT$ (1)

Ведённая молярная масса ( $\displaystyle M$ ) — величина табличная, т.к. нам дан конкретный газ (азот). Неизвестные параметры уравнения (1) получим из анализа последнего дано — работы газа:

$\displaystyle A=P\Delta V$ (2)

Решаем: для рассмотрения любого изменения (объёма, температуры) воспользуемся методом банок, для чего нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (1). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Состояния газа

Банка 1 — начальное состояние системы. Газ находится при начальном давлении ( $\displaystyle {{P}}$ ), начальной температуре ( $\displaystyle {{T}_{1}}$ ) и начальном объёме ( $\displaystyle {{V}_{1}}$ ). При этом химическое количество вещества ( $\displaystyle \nu =\frac{m}{M}$ ), которое в описанных в задаче процессах не изменяется.

Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}}{{V}_{1}}=\frac{m}{M}R{{T}_{1}}$ (3)

Банка 2 — следующее состояние системы. Объём газа при этом $\displaystyle {{V}_{2}}$ , давление при условии изобарности, заданной в задаче — $\displaystyle {{P}}$ , температура новая — $\displaystyle {{T}_{2}}$ и изначальное химическое количество ( $\displaystyle \nu =\frac{m}{M}$ ). Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}}{{V}_{2}}=\frac{m}{M} R{{T}_{2}}$ (4)

Тогда, получим разницу между (4) и (3):

$\displaystyle P{{V}_{2}}-P{{V}_{1}}=\frac{m}{M}R{{T}_{2}}-\frac{m}{M}R{{T}_{1}}\Rightarrow$ $\displaystyle P({{V}_{2}}-{{V}_{1}})=\frac{m}{M}R({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\Rightarrow$ $\displaystyle P\Delta V=\frac{m}{M}R\Delta T$ (5)

В соотношении (5) присутствует искомая масса. Мы провернули все эти не особо очевидные рассуждения исходя из заданных нам параметров. Массу как таковую, можно получить различными способами, поэтому в таком случае всегда нужно ориентироваться на дано, а именно на изменения температуры и объёма (через работу). Параметры в левой части уравнения неизвестны, но полностью присутствуют в соотношении (2), поэтому подставим:

$\displaystyle A=\frac{m}{M}R\Delta T$ (6)

А теперь осталось только выразить искомую массу из (6):

$\displaystyle A=\frac{m}{M}R\Delta T\Rightarrow m=\frac{AM}{R\Delta T}$ (7)

Считаем: вспоминаем значение газовой постоянной $\displaystyle R\approx 8,31$ м $\displaystyle ^{2}$ *кг*с $\displaystyle ^{-2}$ *К $\displaystyle ^{-1}$ *Моль $\displaystyle ^{-1}$ и табличное значение молярной массы азота $\displaystyle M=28*{{10}^{-3}}$ кг/м $\displaystyle ^{3}$ . Тогда: