Задача. Идеальный газ определённой массы при температуре К

Задача. Идеальный газ определённой массы при температуре $\displaystyle {{T}_{1}}=300$ К и давлении $\displaystyle P=0,25$ МПа занимает объём $\displaystyle {{V}_{1}}=0,20$ м³. Определите работу, совершённую силой давления газа при его изобарном нагревании до температуры $\displaystyle {{T}_{2}}=380$ К.

Дано:

$\displaystyle {{T}_{1}}=300$ К
$\displaystyle P=0,25$ МПа
$\displaystyle {{T}_{2}}=380$ К
$\displaystyle {{V}_{1}}=0,20$ м³

Найти:
$\displaystyle A$ — ?

Решение

Думаем: работу при изобарном нагревании можно найти исходя из определения:

$\displaystyle A=P\Delta V$ (1)

Вопросы об изменении объёма связаны с уравнением Менделеева-Клапейрона:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (2)

Решаем: вопрос об изменении объёма можем проанализировать через метод банок. Нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (1). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Параметры системы

Банка 1 — начальное состояние системы. Газ находится при начальном давлении ( $\displaystyle {{P}}$ ), начальной температуре ( $\displaystyle {{T}_{1}}$ ) и начальном объёме ( $\displaystyle {{V}_{1}}$ ). При этом химическое количество вещества ( $\displaystyle \nu$ ), которое в описанных в задаче процессах не изменяется.

Реализуем (2) в этом случае:

$\displaystyle {{P}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}_{1}}$ (3)

Банка 2 — следующее состояние системы. Объём газа при этом $\displaystyle {{V}_{2}}$ , давление при условии изобарности, заданной в задаче — $\displaystyle {{P}}$ , температура новая — $\displaystyle {{T}_{2}}$ и изначальное химическое количество ( $\displaystyle \nu$ ). Реализуем (2) в этом случае:

$\displaystyle {{P}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{2}}$ (4)

Работа газа, описанная в (1) может быть записана в виде:

$\displaystyle A=P({{V}_{2}}-{{V}_{1}})=P{{V}_{2}}-P{{V}_{1}}$ (5)

Если произведение $\displaystyle P{{V}_{1}}$ у нас уже дано, но с $\displaystyle P{{V}_{2}}$ ещё нужно повозиться. Для этого поделим (4) на (3):

$\displaystyle \frac{P{{V}_{2}}}{P{{V}_{1}}}=\frac{\nu R{{T}_{2}}}{\nu R{{T}_{1}}}\Rightarrow \frac{P{{V}_{2}}}{P{{V}_{1}}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}$ (6)

Выразим из (6) $\displaystyle P{{V}_{2}}$ :

$\displaystyle P{{V}_{2}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}P{{V}_{1}}$ (7)

Осталось подставить (7) в (5):

$\displaystyle A=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}P{{V}_{1}}-P{{V}_{1}}=P{{V}_{1}}(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}-1)$ (8)

Считаем:

$\displaystyle A=0,25*{{10}^{6}}*0,20*(\frac{380}{300}-1)\approx 13,3*{{10}^{3}}$ Дж

Ответ: $\displaystyle A\approx 13,3*{{10}^{3}}$ Дж.

Ещё задачи на тему «Работа и внутренняя энергия идеального газа«.

Поделиться ссылкой: