На пружине колеблется груз с частотой

Задача. На пружине колеблется груз с частотой \displaystyle v=0,710 Гц. Когда к нему прикрепили дополнительный груз массой \displaystyle \Delta m=500 г, частота колебаний стала \displaystyle {{v}_{1}}=0,920 Гц. Найдите массу начального груза.

Дано:

\displaystyle v=0,710 Гц \displaystyle \Delta m=500 г \displaystyle {{v}_{1}}=0,920 Гц

Найти:
\displaystyle m — ?

Решение

Думаем: фраза «пружине колеблется груз» отсылает нас к пружинному маятнику, тогда

\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{k}{m}} (1)

Выбор именно этой формулы связан с остальными параметрами задачи — частотами. Связь частоты и периода однозначна:

\displaystyle \nu =\frac{1}{T} (2)

Решаем: проведём мини-анализ, попробуем проанализировать заданные частоты в общем виде. Подставим (2) в (1):

\displaystyle \nu =\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{m}{k}} (3)

Тогда, адаптируем (3) под наши условия:

  • в первом случае на пружину жёсткостью \displaystyle k действует груз массой \displaystyle m:

\displaystyle \nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{m}{k}} (4)

  • во втором случае на пружину жёсткостью \displaystyle k действует груз массой \displaystyle m+\Delta m (по задаче груз прибавили):

\displaystyle {{\nu }_{1}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{m+\Delta m}{k}} (5)

Простейшая математическая форма разрешения системы уравнений (4) и (5) заключается в делении одного уравнения на другое ( (5) на (4) ):

\displaystyle \frac{{{\nu }_{1}}}{\nu }=\frac{\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{m+\Delta m}{k}}}{\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{m+\Delta m}{k}}*\sqrt{\frac{k}{m}} \displaystyle =\sqrt{\frac{m+\Delta m}{k}\frac{k}{m}} \displaystyle =\sqrt{\frac{m+\Delta m}{m}} (6)

Последняя задача — это выразить искомую массу из (6):

\displaystyle \frac{{{\nu }_{1}}}{\nu }=\sqrt{\frac{m+\Delta m}{m}}\Rightarrow {{\left( \frac{{{\nu }_{1}}}{\nu } \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{\frac{m+\Delta m}{m}} \right)}^{2}} \displaystyle \Rightarrow \frac{\nu _{1}^{2}}{{{\nu }^{2}}}=1+\frac{\Delta m}{m} \displaystyle \Rightarrow \frac{\Delta m}{m}=\frac{\nu _{1}^{2}}{{{\nu }^{2}}}-1 \displaystyle \Rightarrow \frac{\Delta m}{m}=\frac{\nu _{1}^{2}-{{\nu }^{2}}}{{{\nu }^{2}}} \displaystyle \Rightarrow m=\Delta m\frac{{{\nu }^{2}}}{\nu _{1}^{2}-{{\nu }^{2}}} (7)

Считаем: перевод массы в единицы СИ можно и не делать, тогда мы просто получим ответ в граммах.

\displaystyle m=500*\frac{{{0,710}^{2}}}{{{0,920}^{2}}-{{0,710}^{2}}}\approx 736 г

Ответ: \displaystyle m\approx 736 г.

Ещё задачи на тему «Маятники«.