Задача. Гелий, количества вещества которого моль, находящийся при

Задача. Гелий, количества вещества которого $\displaystyle v=3,0$ моль, находящийся при температуре $\displaystyle T=320$ К, сначала изобарно нагревают, а затем изохорно переводят в состояние с температурой, равной начальной. Определите, во сколько раз увеличился объём гелия, если алгебраическая сумма количества полученной и отданной теплоты $\displaystyle Q=4,6$ кДж.

Дано:

$\displaystyle v=3,0$ моль
$\displaystyle T=320$ К
$\displaystyle Q=4,6$ кДж

Найти:
$\displaystyle n$ — ?

Решение

Думаем: вопрос задачи определим как

$\displaystyle n=\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}$ (1)

где $\displaystyle {{V}_{1}}$ — объём газа в начальном состоянии, $\displaystyle {{V}_{2}}$ 0 объём газа при конечном состоянии. Вопрос о получении объёмов газа сводится к методу банок и анализу уравнения Менделеева-Клапейрона:

$\displaystyle PV=\nu RT$ (2)

Анализ оставшегося дано, связанного с теплотой касается первого начала термодинамики:

$\displaystyle Q=A+\Delta U$ (3)

Или в развёрнутом виде:

$\displaystyle Q=P\Delta V+\frac{3}{2}\nu R\Delta T$ (4)

Решаем: нарисуем баллоны и запишем в них все параметры газа, которые необходимы для соотношения (2). Формой сосуда (изменение объёма) можно пренебречь, поэтому визуализируем сосуд с газом в первом и втором состоянии одинаковой банкой (рис. 1).

Рис. 1. Газ в различных состояниях

Банка 1 — начальное состояние системы. Газ находится при начальном давлении ( $\displaystyle {{P}_{1}}$ ), начальной температуре ( $\displaystyle {{T}}$ ) и начальном объёме ( $\displaystyle {{V}_{1}}$ ). При этом химическое количество ( $\displaystyle \nu$ ), которое в описанных в задаче процессах не изменяется. Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}}$ (5)

Банка 2 — следующее состояние системы. Объём газа при этом $\displaystyle {{V}_{2}}$ , давление при условии изобарности, заданной в задаче — $\displaystyle {{P}_{1}}$ , температура новая — $\displaystyle {{T}_{2}}$ и изначальное химическое количество ( $\displaystyle \nu$ ). Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}_{1}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{2}}$ (6)

Банка 3 — конечное состояние системы. Изохорический процесс говорит о том, что объём газа — $\displaystyle {{V}_{2}}$ , новое давление — $\displaystyle {{P}_{3}}$ , по дано температура газа вернулась в первоначальное состояние, по-этому текущая температура — $\displaystyle 2{{T}}$ и всё то же изначальное химическое количество вещества ( $\displaystyle \nu$ ). Реализуем (1) в этом случае:

$\displaystyle {{P}_{3}}{{V}_{2}}=\nu R2{{T}}$ (7)

Для получения ответа легче всего поделить (6) на (5), таким образом мы избавимся от большинства неизвестных:

$\displaystyle \frac{{{P}_{1}}{{V}_{2}}}{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}=\frac{\nu R{{T}_{2}}}{\nu RT}\Rightarrow \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{T}_{2}}}{T}\Rightarrow n=\frac{{{T}_{2}}}{T}$ (8)

Тогда вопрос задачи касается поиска температуры газа во втором состоянии. В этом поиске нам поможет неиспользованное дано — алгебраическая сумма теплот ( $\displaystyle Q$ ).

Для получения этого параметра используем (4):

при переходе из начального во второе состояние система получила теплоту (учитывая изобарический процесс):

$\displaystyle {{Q}_{12}}={{P}_{1}}({{V}_{2}}-{{V}_{1}})+\frac{3}{2}\nu R({{T}_{2}}-{{T}})$ (9)

при переходе из второго состояния в конечное система отдала теплоту (учитывая изохорический процесс):

$\displaystyle {{Q}_{23}}=\frac{3}{2}\nu R(T-{{T}_{2}})$ (10)

Тогда полная теплота есть сумма (9) и (10):

$\displaystyle Q={{P}_{1}}({{V}_{2}}-{{V}_{1}})+\frac{3}{2}\nu R({{T}_{2}}-T)+\frac{3}{2}\nu R(T-{{T}_{2}})$ $\displaystyle ={{P}_{1}}({{V}_{2}}-{{V}_{1}})$ $\displaystyle ={{P}_{1}}{{V}_{2}}-{{P}_{1}}{{V}_{1}}$ (11)

Полученные в (11) произведения давления на объём мы уже видели в (5) и (6), подставим:

$\displaystyle Q=\nu R{{T}_{2}}-\nu RT=\nu R({{T}_{2}}-T)$ (12)

Из (12) выделим необходимую нам температуру:

$\displaystyle Q=\nu R({{T}_{2}}-T)\Rightarrow \frac{Q}{\nu R}={{T}_{2}}-T\Rightarrow {{T}_{2}}=\frac{Q}{\nu R}+T$ (13)

Конечное соотношение — подставим (13) в (8):

$\displaystyle n=\frac{{{T}_{2}}}{T}=\frac{\frac{Q}{\nu R}+T}{T}=\frac{Q}{\nu RT}+1$ (14)

Считаем: вспоминаем значение газовой постоянной $\displaystyle R\approx 8,31$ м $\displaystyle ^{2}$ *кг*с $\displaystyle ^{-2}$ *К $\displaystyle ^{-1}$ *Моль $\displaystyle ^{-1}$ .

$\displaystyle n=\frac{4,6*{{10}^{3}}}{3,0*8,31*320}+1\approx 1,6$ (15)

Ответ: $\displaystyle n\approx 1,6$ .

Ещё задачи на тему «Первый закон термодинамики«.

Поделиться ссылкой: