Задача. Модуль скорости движения катера относительно воды

Задача. Модуль скорости движения катера относительно воды $\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=10,0$ м/с. Какие значения может принять модуль скорости движения катера относительно берега, если модуль скорости течения воды $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=3,5$ м/с?

Дано:

$\displaystyle {{\upsilon }_{1}}=10,0$ м/с $\displaystyle {{\upsilon }_{2}}=3,5$ м/с

Найти:
$\displaystyle \upsilon$ — ?

Решение

Думаем: вопрос «какие значения может принять модуль скорости» несколько странный, но вполне логичный. Нам предлагается найти диапазон скоростей, с которыми может двигаться катер относительно берега. Для ответа на этот вопрос можно найти минимальную и максимальную доступные скорости. Проанализируем логически:

в случае если катер движется по течению реки, река как бы подгоняет катер, в этом случае катер движется с максимальной скоростью относительно берег (рис. 1.1). Очевидно, что при этом $\displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}=10,0+3,5=13,5$ м/с.
в случае, если катер движется против течения реки, река затормаживает катер и в этом случае катер движется с минимальной скоростью относительно берега (рис. 1.2). Очевидно, что при этом $\displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}=10,0-3,5=6,5$ м/с.

Рис. 1. Относительное движение

Решаем: кроме достаточно понятного логического описания задачи, рассмотренного выше, для такого типа задач возможно и физически обоснованное решение с использованием закона сложения скоростей Галилея:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{u}$ (1)

где
- $\displaystyle \vec{\upsilon }$ — скорость тела относительно неподвижной системы координат
- $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}$ — скорость тела, относительно подвижной системы координат
- $\displaystyle \vec{u}$ — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной.

Осталось приписать введённым переменным конкретные значения из нашего дано. Тело в нашей задаче — катер, подвижная система — вода, неподвижная система — берег. Анализируя данные, получим $\displaystyle \vec{\upsilon }=\vec{\upsilon }$ — скорость катера относительно берега (то, что нам нужно найти), $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{0}}={{\vec{\upsilon }}_{1}}$ — скорость катера относительно воды и $\displaystyle \vec{u}={{\vec{\upsilon }}_{2}}$ — скорость воды относительно берега. Введя подобные переобозначения, адаптируем (1) под условия нашей задачи:

$\displaystyle \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{\vec{\upsilon }}_{2}}$ (2)

Пока это соотношение векторное и описывает скорости вне зависимости от обозначения. Анализируя направления на рис.1, можем получить скалярные уравнения:

для рис. 1.1, проекции $\displaystyle \vec{\upsilon }$ , $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{1}}$ и $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{2}}$ положительны, тогда:

$\displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}$ (3)

для рис. 1.1, проекции $\displaystyle \vec{\upsilon }$ , $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{1}}$ положительны, а проекция $\displaystyle {{\vec{\upsilon }}_{2}}$ — отрицательна, тогда:

$\displaystyle \upsilon ={{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}$ (4)