Шарик массой и зарядом подвешен на шёлковой нити

Задача. Шарик массой \displaystyle m=0,080 г и зарядом \displaystyle q=50 пКл подвешен на шёлковой нити. Определите, на какой угол от вертикали отклонится нить с шариком, если шарик поместить в однородное горизонтальное электростатическое поле, модуль напряжённости которого \displaystyle E=4,00\cdot {{10}^{6}} В/м.

Дано:

\displaystyle m=0,080 г
\displaystyle q=50 пКл
\displaystyle E=4,00\cdot {{10}^{6}} В/м

Найти:
\displaystyle \alpha — ?

Решение

Думаем: шар, отклонённый от вертикали под действием электрического поля остаётся в равновесии (т.е. покоится). Тогда можем сказать, что сумма сил, действующих на тело равно 0, т.к. при равновесии ускорение тела равно 0 (\displaystyle a=0), тогда следуя второму закону Ньютона:

\displaystyle \sum{{{{\vec{F}}}_{i}}=0} (1)

Связь силы с заданным нам напряжением определяется через:

\displaystyle \vec{F}=q\vec{E} (2)

А т.к. мы выбрали решение задачи через второй закон Ньютона, то воспользуемся планом.

Решаем: исходя из плана, нарисуем рисунок. расставим силы, действующие на тело и введём оси (рис. 1).

Рис. 1, Силы, действующие на тело

Рис. 1, Силы, действующие на тело

На тело действуют сила тяжести (\displaystyle m\vec{g}), сила натяжения нити (\displaystyle \vec{T}) и сила Кулона (\displaystyle \vec{F}). Проекции силы натяжение нити показаны на рисунке (ось OX — синяя, ось OY — зелёная). Спроецируем (1) на выбранные оси:

  • ось OX:

\displaystyle T\sin \alpha -F=0 (3)

  • ось OY:

\displaystyle T\cos \alpha -mg=0 (4)

Для поиска угла удобно использовать (3) и (4) в следующем виде:

\displaystyle T\sin \alpha =F (5)

\displaystyle T\cos \alpha =mg (6)

Поделим (5) на (6):

\displaystyle \frac{T\sin \alpha }{T\cos \alpha }=\frac{F}{mg}\Rightarrow \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{F}{mg}\Rightarrow tg\alpha =\frac{F}{mg} (7)

Осталось рассмотреть силу Кулона, подставим (2) в (7):

\displaystyle tg\alpha =\frac{qE}{mg} (8)

Считаем: осталось описать ускорение свободного падения (\displaystyle g=10 м/с\displaystyle ^{2}).

\displaystyle tg\alpha =\frac{50*{{10}^{-12}}*4,00*{{10}^{6}}}{0,080*{{10}^{-3}}*10}=0,25

Или:

\displaystyle \alpha =arctg(0,25)\approx {{14}^{\circ }}

Ответ\displaystyle \alpha \approx {{14}^{\circ }}.

Ещё задачи на тему «Напряжённость электростатического поля»